Đáp án:
Câu 23: $C$
Câu 24: $D$
Câu 25: $A$
Câu 26: $B$
Câu 27: $D$
Câu 28: $D$
Câu 29: $B$
Câu 30: $A$
Giải thích các bước giải:
Câu 23:
Cộng vế với vế của hệ
$\to (m+2)x=6$
Vì $m\in Z$
$\to $Để hệ có nghiệm duy nhất không âm
$\to m+2>0$
$\to m>-2$
$\to x=\dfrac{6}{m+2}$
Mà $2x-y=2$
$\to y=2x-2$
$\to y=\dfrac{8-2m}{m+2}$
Do $y>0\to \dfrac{8-2m}{m+2}>0$
Do $m+2>0\to 8-2m>0$
$\to 2m<8$
$\to m<4$
$\to -2<m<4$
Do $m\in Z\to m\in\{-1, 0, 1, 2, 3\}$
$\to C$
Câu 24:
Ta có:
$x-my=2$
$\to x=my+2$
Mà $mx+y=1$
$\to m(my+2)+y=1$
$\to y(m^2+1)=1-2m$
$\to y=\dfrac{1-2m}{m^2+1}$
$\to x=\dfrac{m+2}{m^2+1}$
Để $2x+y=1$
$\to 2\cdot \dfrac{m+2}{m^2+1}+\dfrac{1-2m}{m^2+1}=1$
$\to m=\pm2$
$\to D$
Câu 25:
Cộng vế với vế của hệ phương trình
$\to x(m+1)=m^2-1$
$\to x(m+1)=(m-1)(m+1)$
Để hệ có nghiệm duy nhất $\to m+1\ne 0$
$\to m\ne -1$
$\to x=m-1$
Mà $x-y=-1\to y=x+1$
$\to y=m-1+1$
$\to y=m$
Để $3x+y<6$
$\to 3(m-1)+m<6$
$\to 4m<9$
$\to m\le 2$
Do $m\in Z^+$
$\to m\in\{1, 2\}$
$\to$Có $2$ giá trị $m$ thỏa mãn đề
$\to A$
Câu 26:
Cộng vế với vế của hệ
$\to x(m^2+1)=m^2+2$
$\to x=\dfrac{m^2+2}{m^2+1}$
Mà $x+y=2$
$\to y=2-x$
$\to y=\dfrac{m^2}{m^2+1}$
Vì $x_0, y_0$ là nghiệm của hệ $\to x_0=\dfrac{m^2+2}{m^2+1}, y_0=\dfrac{m^2}{m^2+1}$
Đặt $m^2=t, t\ge 0$
$\to x_0=\dfrac{t+2}{t+1}, y_0=\dfrac{t}{t+1}$
$\to A=(\dfrac{t+2}{t+1})^2+(\dfrac{t}{t+1})^2-3$
$\to A=\dfrac{1-t^2-2t}{(t+1)^2}$
$\to A=\dfrac{2-(t+1)^2}{(t+1)^2}$
$\to A=\dfrac{2}{(t+1)^2}-1$
Mà $t\ge 0$
$\to A\le \dfrac{2}{(0+1)^2}-1$
$\to A\le 1$
Dấu = xảy ra khi $t=0$
$\to m=0$
$\to B$
Câu 27:
Ta có:
$3(x-2y)+(2x+y)=3(2-m)+(3m+4)$
$\to 5x-5y=10$
$\to x-y=2$
$\to x=y+2$
$\to x_0=y_0+2$
$\to A=(y_0+2)^2+3y_0^2+4$
$\to A=4y_0^2+4y_0+8$
$\to A=(2y_0+1)^2+7$
$\to A\ge 7$
Dấu = xảy ra khi $2y_0+1=0\to y_0=-\dfrac12$
$\to x_0=\dfrac32$
Mà $x-2y=2-m$
$\to m=2-x+2y$
$\to m=-\dfrac12$
$\to D$
Câu 28:
Từ hệ
$\to ((m+1)x+my)+m(mx-y)=2m-1+m^3-2m$
$\to x(m^2+m+1)=m^3-1$
$\to x(m^2+m+1)=(m-1)(m^2+m+1)$
$\to x=m-1$ vì $m^2+m+1=(m+\dfrac12)^2+\dfrac34>0$
Vì $mx-y=m^2-2\to y=mx-m^2+2=-m+2$
$\to P=\dfrac{1}{(m-1)(-m+2)}$ Không thể tìm GTNN nếu không biết điều kiện của m
Giả sử $x_0, y_0>0$
$\to m-1>0$ và $-m+2>0\to 1<m<2$
Mà $P=\dfrac{1}{(m-1)(-m+2)}\ge \dfrac{1}{\dfrac{(m-1+-m+2)^2}4}=4$
Dấu = xảy ra khi $m-1=-m+2\to m=\dfrac32$
$\to D$
Câu 29:
Ta có: $mx+y=m\to y=m-mx$
Mà $x+my=2m-1$
$\to x+m(m-mx)=2m-1$
$\to (1-m^2)x=-m^2+2m-1$
$\to x(m^2-1)=m^2-2m+1$
$\to x(m-1)(m+1)=(m-1)^2$
Để hệ có nghiệm duy nhất
$\to (m-1)(m+1)\ne 0$
$\to m\ne \pm1$
$\to x=\dfrac{m-1}{m+1}$
Không thể tìm $m$ nếu không có điều kiện của $m$
Nếu $m\in Z$
Do $x\in Z$
$\to \dfrac{m-1}{m+1}\in Z$
$\to m-1\quad\vdots\quad m+1$
$\to (m+1)-2\quad\vdots\quad m+1$
$\to 2\quad\vdots\quad m+1$
$\to m+1\in\{1, 2, -1,-2\}$ vì $m\in Z$
$\to$Có $4$ giá trị $m$ thỏa mãn đề
$\to B$
Câu 30:
Ta có:
$\begin{cases} 5|x-2|-3|y+1|=7\\ 2\sqrt{4x^2-16x+16}+5\sqrt{y^2+2y+1}=13\end{cases}$
$\to \begin{cases} 5|x-2|-3|y+1|=7\\ 2\sqrt{4(x-2)^2}+5\sqrt{(y+1)^2}=13\end{cases}$
$\to \begin{cases} 5|x-2|-3|y+1|=7\\ 4|x-2|+5|y+1|=13\end{cases}$
$\to \begin{cases} 5a-3b=7\\ 4a+5b=13\end{cases}$ vì $a=|x-2|, b=|y+1|$
$\to A$
