Giải thích các bước giải:
Chú ý: Khi đặt hàm phụ $t=\cos x$ thì bản chất $y'(t)=y'(x).t'(x)$ nên ta cần phải kiểm tra dấu của cả $y'(t)$ và $t'(x)$
Đặt $t=\cos x$
+) Ở câu $2$ ta có:
Khi $x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow $$t\in (0;1)$
Hàm số trở thành: $y = \dfrac{{t - 2}}{{t - m}} $
Và: $t'(x)=-\sin x<0,\forall x\in (0;\dfrac{\pi}{2})$
Nên để hàm số ban đầu đồng biến trên $(0;\dfrac{\pi}{2})$
$ \Leftrightarrow $ Hàm số $y(t)$ nghịch biến trên khoảng $(0;1)$
+) Ở câu $11$ ta có:
Khi $x \in \left( {\dfrac{\pi }{3};\dfrac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow t \in \left( {0;\dfrac{1}{2}} \right)$
Hàm số trở thành: $y = \dfrac{{m - t}}{{1 - {t^2}}}$
Và: $t'\left( x \right) = - \sin x < 0,\forall x \in \left( {\dfrac{\pi }{3};\dfrac{\pi }{2}} \right)$
Nên để hàm số ban đầu nghịch biến trên $\left( {\dfrac{\pi }{3};\dfrac{\pi }{2}} \right)$
$ \Leftrightarrow $ Hàm số $y(t)$ đồng biến trên khoảng $\left( {0;\dfrac{1}{2}} \right)$
$ \Leftrightarrow y'\left( t \right) \ge 0,\forall t \in \left( {0;\dfrac{1}{2}} \right)$
Mà $y'\left( t \right) = \dfrac{{ - 1\left( {1 - {t^2}} \right) - \left( { - 2t} \right)\left( {m - t} \right)}}{{{{\left( {1 - {t^2}} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - {t^2} + 2mt - 1}}{{{{\left( {1 - {t^2}} \right)}^2}}}$
Nên $y'\left( t \right) \ge 0,\forall t \in \left( {0;\dfrac{1}{2}} \right)$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \dfrac{{ - {t^2} + 2mt - 1}}{{{{\left( {1 - {t^2}} \right)}^2}}} \ge 0,\forall t \in \left( {0;\dfrac{1}{2}} \right)\\
\Leftrightarrow - {t^2} + 2mt - 1 \ge 0,\forall t \in \left( {0;\dfrac{1}{2}} \right)\\
\Leftrightarrow 2mt \ge {t^2} + 1,\forall t \in \left( {0;\dfrac{1}{2}} \right)\\
\Leftrightarrow m \ge \dfrac{1}{2}\left( {t + \dfrac{1}{t}} \right),\forall t \in \left( {0;\dfrac{1}{2}} \right)\\
\Leftrightarrow m \ge \dfrac{1}{2}\mathop {\max }\limits_{t \in \left( {0;\dfrac{1}{2}} \right)} \left( {t + \dfrac{1}{t}} \right)
\end{array}$
Nhưng \[\mathop {\max }\limits_{t \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)} \left( {t + \frac{1}{t}} \right) = + \infty \]
$\to$ Đề bài có lỗi, bạn kiểm tra lại đề bài
