Đáp án:
$y = (C_1+C_2x)e^{-3x} + x^2 + x + 3$
Giải thích các bước giải:
$\quad y'' + 6y' + 9y = 9x^2 + 21x + 35\quad (*)$
Phương trình đặc trưng:
$\quad k^2 + 6k + 9 = 0\Leftrightarrow k = -3$
$\Rightarrow$ Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng có dạng:
$\quad y = (C_1+C_2x)e^{-3x}$
Ta có: $f(x)= e^{0x}(9x^2 + 21x + 35)$
Do $\gamma = 0$ không là nghiệm của phương trình đặc trưng
nên nghiệm riêng của phương trình có dạng:
$\quad y = e^{0x}(Ax^2 + Bx + C)$
$\Leftrightarrow y = Ax^2 + Bx + C$
$\Rightarrow y' = 2Ax + B$
$\Rightarrow y'' = 2A$
Thay vào $(*)$ ta được:
$\quad 2A + 6(2Ax + B) + 9(Ax^2 + Bx + C)= 9x^2 + 21x + 35$
$\Leftrightarrow 9Ax^2 + (12A + 9B)x + 2A + 6B + 9C = 9x^2 + 21x + 35$
Đồng nhất hai vế, ta được:
$\begin{cases}9A = 9\\12A + 9B = 21\\2A + 6B + 9C = 35\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}A = 1\\B = 1\\C = 3\end{cases}$
Do đó nghiệm riêng của $(*)$ có dạng:
$\quad y = x^2 + x + 3$
Vậy phương trình có nghiệm là:
$y = (C_1+C_2x)e^{-3x} + x^2 + x + 3$
