Đáp án:
$GTNN$ của `\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x^2+x+1}` bằng `2` khi `x=0`
Giải thích các bước giải:
Ta có:
`\qquad x^2-x+1`
`=[x^2-2.x . 1/2+(1/2)^2]+3/4`
`=(x-1/2)^2+3/4\ge 3/4>0` với mọi `x`
`\qquad x^2+x+1`
`=[x^2+2.x . 1/2+(1/2)^2]+3/4`
`=(x+1/2)^2+3/4\ge 3/4>0` với mọi `x`
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho `2` số dương `\sqrt{x^2-x+1}` và `\sqrt{x^2+x+1}` ta có:
`\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x^2+x+1}\ge 2\sqrt{\sqrt{x^2-x+1}.\sqrt{x^2+x+1}}`
`\ge 2\sqrt{\sqrt{(x^2+1-x)(x^2+1+x)}}`
`\ge 2\sqrt{\sqrt{(x^2+1)^2-x^2}}`
`\ge 2\sqrt{\sqrt{x^4+2x^2+1-x^2}}`
`\ge 2\sqrt{\sqrt{x^4+x^2+1}}`
Với mọi `x` ta có: $\begin{cases}x^2\ge 0\\x^4\ge 0\end{cases}$
`=>x^4+x^2\ge 0`
`=>x^4+x^2+1\ge 1`
`=>2\sqrt{\sqrt{x^4+x^2+1}}\ge 2\sqrt{\sqrt{1}}=2`
Dấu "=" xảy ra khi:
$\quad \begin{cases}x=0\\\sqrt{x^2-x+1}=\sqrt{x^2+x+1}\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}x=0\\x^2-x+1=x^2+x+1\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}x=0\\-2x=0\end{cases}$`=>x=0`
Vậy $GTNN$ của `\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x^2+x+1}` bằng `2` khi `x=0`
