Đáp án:
$\\$
`a,`
Xét `ΔABC` vuông tại `A` có :
`AB^2 + AC^2 = BC^2` (Pitago)
`-> AC^2 = BC^2 - AB^2`
`-> AC^2 = 5^2 - 3^2`
`-> AC^2 = 4^2`
`-> AC =4cm`
$\\$
$\\$
`b,`
Xét `ΔABC` và `ΔADC` có :
`AC` chung
`AB=AD` (giả thiết)
`hat{BAC} = hat{DAC} = 90^o`
`-> ΔABC = ΔADC` (cạnh - góc - cạnh)
$\\$
$\\$
`c,`
Do $DE//BC$
`-> hat{MCB} = hat{MDE}` (2 góc so le trong)
Do `ΔABC = ΔADC` (chứng minh trên)
`-> BC =DC` (2 cạnh tương ứng)
Xét `ΔMCB` và `ΔMDE` có :
`hat{MCB} = hat{MDE}` (chứng minh trên)
`DM = CM` (Do `M` là trung điểm của `DC`)
`hat{DME} = hat{CMB}` (2 góc đối đỉnh)
`-> ΔMCB = ΔMDE` (góc - cạnh - góc)
`-> DE = BC` (2 cạnh tương ứng)
mà `DC =BC` (chứng minh trên)
`-> DE=DC (=BC)`
`-> ΔCDE` cân tại `D`
$\\$
$\\$
`d,`
Có : `M` là trung điểm của `DC` (giả thiết)
`-> BM` là đường trung tuyến của `ΔBDC`
Có : `AB=AD` (giả thiết)
`-> A` là trung điểm của `BD`
`-> CA` là đường trung tuyến của `ΔBDC`
Xét `ΔBDC` có :
`BM` là đường trung tuyến
`CA` là đường trung tuyến
`BM` cắt `CA` tại `I`
`-> I` là trọng tâm của `ΔBDC`
`BM` là đường trung tuyến
`-> IM = 1/3 BM`
Do `ΔMCB = ΔMDE` (chứng minh trên)
`-> BM = EM` (2 cạnh tương ứng)
`-> M` là trung điểm của `BE`
`-> BM = 1/2 BE`
mà `IM = 1/3BM` (chứng minh trên)
`-> IM = 1/3 . 1/2 BE`
`-> IM = 1/6 BE`
`-> BE = 6IM`
Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔBDE` có :
`DE + BD > BE`
mà `DE=BC` (chứng minh trên), `BE = 6IM` (chứng minh trên)
`-> BC + BD > 6IM`
