Câu 4:
`a)`
Xét `ΔHBA` và `ΔABC` có:
`hat{B}:chung`
`hat{BHA}=hat{BAC}=90^o`
`⇒ΔHBA`$\sim$`ΔABC(g.g)(đpcm)`
`b)`
Áp dụng định lý Py-ta-go vào `Δ` vuông `ABC` ta có:
`BC²=AB²+AC²`
`BC²=15²+20²`
`BC²=225+400`
`BC²=625`
`BC=`$\sqrt[]{625}$
`BC=25(cm)`
Theo câu `a)ΔHBA`$\sim$`ΔABC(g.g)`
`⇒(HB)/(AB)=(BA)/(BC)`
`⇒(HB)/15=15/25`
`⇒HB=(15.15)/25`
`⇒HB=225/25`
`⇒HB=9(cm)`
Áp dụng định lý Py-ta-go vào `Δ` vuông `ABH` ta có:
`AB²=AH²+HB²`
`15²=AH²+9²`
`AH²=15²-9²`
`AH²=225-81`
`AH²=144`
`AH=`$\sqrt[]{144}$
`AH=12(cm)`
Vì `AD` là tia phân giác của `hat{BAH}` nên:
`(BD)/(HD)=(AB)/(AH)`
`⇒(BD)/(BD+HD)=(AB)/(AB+AH)`
`⇒(BD)/(BH)=(AB)/(AB+AH)`
`⇒(BD)/9=15/(15+12)`
`⇒BD=(9.15)/(15+12)`
`⇒BD=135/27`
`⇒BD=5(cm)`
Ta có:`DH=HB-BD=9-5=4(cm)`
`c)`
Ta có:`FC⊥BC(g``t)`
`ME⊥BC(g``t)`
`⇒FC``/``/``ME(` từ `⊥` đến `/``/``)`
`⇒hat{F_1}=hat{E_2}(2` góc so le trong `)`
Mà `hat{E_1}=hat{E_2}(g``t)`
`⇒hat{F_1}=hat{E_1}`
`⇒ΔCEF` cân tại `C`
Mà `Δ` cân `CEF` có `hat{ECF}=90^o`
`⇒ΔCEF` vuông cân tại `C`
`⇒CE=CF(` tính chất `Δ` vuông cân `)`
Ta có:`AH⊥BC(g``t)`
`ME⊥BC(g``t)`
`⇒ME``/``/``AH(` từ `⊥` đến `/``/``)`
Vì `ME``/``/``AH(cmt)`, áp dụng định lý Ta-lét ta có:
`(CM)/(AM)=(CE)/(HE)`
Mà `HE=HA(g``t)`
`CE=CF(cmt)`
`⇒(CM)/(AM)=(CF)/(AH)`
Ta có:`FC``/``/``ME(cmt)`
`ME``/``/``AH(cmt)`
`⇒FC``/``/``AH`
`⇒hat{FCM}=hat{HAM}(2` góc so le trong `)`
Xét `ΔFCM` và `ΔHAM` có:
`hat{FCM}=hat{HAM}(cmt)`
`(CM)/(AM)=(CF)/(AH)(cmt)`
`⇒ΔFCM`$\sim$`ΔHAM(c.g.c)`
`⇒hat{FMC}=hat{HMA}(2` góc tương ứng `)`
Mà `hat{HMA}+hat{HMC}=180^o(2` góc kề bù `)`
`⇒hat{FMC}+hat{HMC}=180^o`
`⇒3` điểm `H,M,F` thẳng hàng `(đpcm)`
