a, Biến đổi tương đương:
`a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca`
`<=>2a^2+2b^2+2c^2\ge 2ab+2bc+2ca`
`<=>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge 0`
`<=>(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)\ge 0`
`<=>(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge 0` (luôn đúng)
Đẳng thức xảy ra `<=>a=b=c`
b, Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có:
`a+b\ge 2\sqrt{ab}\ \ (1)`
`b+c\ge 2\sqrt{bc}\ \ (2)`
`c+a\ge 2\sqrt{ca}\ \ (3)`
Nhân vế với vế của `(1)`, `(2)` và `(3)` ta được:
`(a+b)(b+c)(c+a)\ge 8\sqrt{a^2b^2c^2}=8abc`
Đẳng thức xảy ra `<=>a=b=c`
c, Biến đổi tương đương:
`a^2+b^2+1\ge ab+a+b`
`<=>2a^2+2b^2+2\ge 2ab+2a+2b`
`<=>2a^2+2b^2+2-2ab-2a-2b\ge 0`
`<=>(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2a+1)+(b^2-2b+1)\ge 0`
`<=>(a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2\ge 0` (luôn đúng)
Đẳng thức xảy ra `<=>a=b=1`
