Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Giả sử cả $3$ số thực $a, b, c$ đều khác $0$
Ta có: $(a+b+c)^3=(a+b)^3+c^3+3(a+b)c.(a+b+c)$
$⇔ a^3+b^3+c^3+3ab(a+b)+3(a+b)c.0=0$
$⇔ a^3+b^3+c^3+3ab.(-c)=0$
$⇔ a^3+b^3+c^3=3abc$ $(1)$
Mặt khác: $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$
$⇔ a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=0$
$⇔ a^2+b^2+c^2=-2(ab+bc+ca)$
$⇒ (a^2+b^2+c^2)^2=4(ab+bc+ca)^2$
$⇔ a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2ab^2c+2abc^2+2a^2bc$
$⇔ a^4+b^4+c^4=2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+8abc(a+b+c)$
$⇔ a^4+b^4+c^4=2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$ $(2)$
Nhân từng vế $(1), (2)$ ta được:
$(a^3+b^3+c^3)(a^4+b^4+c^4)=6abc(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$
$⇔ a^7+b^7+c^7+a^3b^4+a^3c^4+a^4b^3+b^3c^4+a^4c^3+b^4c^3=6abc(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$
$⇔ a^3b^3(a+b)+a^3c^3(a+c)+b^3c^3(b+c)=6abc(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$
$⇔ -a^3b^3c-a^3c^3b-b^3c^3a=6abc(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$
$⇔ -abc(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=6abc(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$ $(1)$
Vì $a, b, c$ đều khác $0$ nên $abc \neq 0$ $(2)$
Vì $a^2b^2 \geq 0$ và $ab \neq 0$ nên $a^2b^2 > 0$
Tương tự: $b^2c^2 >0$ và $c^2a^2 >0$
$⇒ a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 > 0$
$⇒ a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \neq 0$ $(3)$
Từ $(1), (2), (3)$ suy ra: $-1=6$ (vô lý)
Vậy có ít nhất $1$ số thực $a, b, c$ bằng $0$
