Đáp án:
Giải thích các bước giải:
ĐK:$\begin{cases}
x^2+y>0\\
x+y>0
\end{cases}$
$log_3(x^2+y)≥log_2(x+y)$
$⇔x^2+y≥3^{log_2(x+y)}$
$⇔x^2+y≥(x+y)^{log_23}(1)$
ĐK:$x+y≥1$$(x,y∈\mathbb{Z};x+y>0)$
Đặt $t=x+y(t≥1)$
$(1)⇔x^2+t-x≥t^{log_23}$
$⇔x^2-x≥t^{log_23}-t(2)$
Để $(1)$ không có quá $255$ nghiệm nguyên $y$
$⇔(2)$ có không quá $255$ nghiệm nguyên dương $t$
Đặt $D=f(255)$,$f(t)=t^{log_23}-t$
Ta có:$f'(t)=log_23.t^{log_23-1}-1>0 ∀t>1$
$⇒f(t)$ là hàm số đồng biến trên $[1;+∞)$
$(2)⇔1≤t≤f^{-1}(x^2-x)$ với $x^2-x≥0$
$⇒(2)$ có không quá 255 nghiệm nguyên
$⇔f^{-1}(x^2-x)≤255$
$⇔x^2-x≤255⇔x^2-x-255≤0⇔-78≤x≤79$
Mà $x∈\mathbb{Z}$
$⇒$Có $158$ số nguyên $x$ thỏa mãn đề bài
