Đáp án:
$S(Max)=4039$ khi $a=b=1$
Giải thích các bước giải:
$*)$ Nếu $a+b=0$ thì: $a=0$ và $b=0$ (do $a, b$ là $2$ số không âm
Khi đó, $S=2019$ $(1)$
$*)$ Nếu $a+b > 0$ thì:
Ta có: $a^2+b^2 \geq \dfrac{(a+b)^2}{2}$
Như vậy, $a+b \geq a^2+b^2 \geq \dfrac{(a+b)^2}{2}$
$⇒ a+b \leq 2$ (do $a+b \neq 0$)
Ta có: $\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}=2-\dfrac{1}{a+1}-\dfrac{1}{b+1}$
$\leq 2-\dfrac{4}{a+b+2} \leq 2-\dfrac{4}{2+2}=1$
Từ đó suy ra: $S \leq 2019+1.2020=4039$ $(2)$
Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=1$
Từ $(1), (2)$ suy ra: $S(Max)=4039$ khi $a=b=1$
