Đáp án: $A$
Giải thích các bước giải:
Đồ thị $f\left( x \right)$ đi qua hai điểm $x=0$, $x=3$ và tiếp xúc tại $x=1$.
Nên $f\left( x \right)$ có dạng:
$\,\,\,\,\,\,\,f\left( x \right)=kx\left( x-3 \right){{\left( x-1 \right)}^{2}}$ với $k>0$ vì nhánh đồ thị bên phải đi lên.
$\Rightarrow f\left( x \right)=k\left( {{x}^{4}}-5{{x}^{3}}+7{{x}^{2}}-3x \right)$
$\Rightarrow {{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}={{k}^{2}}{{\left( {{x}^{4}}-5{{x}^{3}}+7{{x}^{2}}-3x \right)}^{2}}$
Xét hàm số $g\left( x \right)={{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}={{k}^{2}}{{\left( {{x}^{4}}-5{{x}^{3}}+7{{x}^{2}}-3x \right)}^{2}}$
$\Rightarrow g'\left( x \right)=2{{k}^{2}}\left( {{x}^{4}}-5{{x}^{3}}+7{{x}^{2}}-3x \right)\left( 4{{x}^{3}}-15{{x}^{2}}+14x-3 \right)$
Cho $g'\left( x \right)=0$, ta được $\left[\begin{array}{l}x=0\\x=3\\x=1\,\,\,\left(\text{ nghiệm bội lẻ }\right)\\x\approx 2,4\\x\approx 0,3\end{array}\right.$
Có 5 nghiệm và do có nhánh đồ thị bên phải đi lên nên có $3$ cực tiểu và $2$ cực đại.
Hoặc vẽ bảng biến thiên sẽ thấy có $3$ cực tiểu và $2$ cực đại.
Chọn câu $A$.
