Đáp án:
$\\$
`a,`
`x^2 + 2x+2`
`= x^2 + 2x . 1 + 1 + 1`
`= x^2 + 2x . 1 + 1^2 + 1`
`= (x+1)^2+1`
Với mọi `x` có : `(x + 1)^2 ≥ 0`
`-> (x+1)^2 + 1 ≥ 1 > 0` với mọi `x`
`-> x^2 + 2x + x > 0` với mọi `x`
Vậy `x^2 + 2x + x > 0` với mọi `x`
`b,`
`x^2 + y^2 + 2 (x+y) +3`
`= x^2 + y^2 + 2x + 2y + 3`
`= x^2 + y^2 + 2x + 2y + 1 + 1 + 1`
`= (x^2 + 2x + 1) + (y^2 + 2y + 1) + 1`
`= (x^2 + 2x . 1 + 1^2) + (y^2 + 2y . 1 + 1^2) + 1`
`= (x+1)^2 + (y+1)^2 + 1`
Với mọi `x,y` có : `(x + 1)^2 ≥0, (y+1)^2 ≥0`
`-> (x+1)^2 + (y+1)^2 ≥0∀x,y`
`-> (x+1)^2 + (y+1)^2 + 1 ≥ 1 > 0` với mọi `x,y`
`-> x^2 + y^2 + 2 (x+y) + 3 > 0` với mọi `x,y`
Vậy `x^2 + y^2 + 2 (x+y) + 3 > 0` với mọi `x,y`
`c,`
`4x^2 + y^2 + 4xy + 4x + 2y + 2`
`= [4x^2 + 4xy + y^2] + [4x + 2y] + 2`
`= [ (2x)^2 + 2 . 2x . y + y^2] + 2 (2x+y) + 2`
`= (2x + y)^2 + 2 (2x+y) + 1 + 1`
`= (2x+y)^2 + 2 (2x + y) . 1 + 1^2 + 1`
`= (2x + y + 1)^2 + 1`
Với mọi `x,y` có : `(2x + y+1)^2 ≥ 0`
`-> (2x+y+1)^2 + 1 ≥1 > 0` với mọi `x,y`
`-> 4x^2 + y^2 + 4xy + 4x + 2y + 2 > 0` với mọi `x,y`
Vậy `4x^2 + y^2 + 4xy + 4x + 2y + 2 > 0` với mọi `x,y`
