Bổ sung đề bài: $AH$ là chiều cao của $\triangle ABC$
Lời giải:
a) Ta có:
$AB^2 = 9^2 = 81$
$AC^2 = 12^2 = 144$
$BC^2 = 15^2 = 225 = 81 + 144$
$\Rightarrow BC^2 = AB^2 + AC^2$
$\Rightarrow \triangle ABC$ vuông tại $A$ (định lý Pytago đảo)
b) Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ ta được:
$+)\quad AB.AC = AH.BC = 2S_{ABC}$
$\Leftrightarrow AH = \dfrac{AB.AC}{BC} = \dfrac{9.12}{15}$
$\Leftrightarrow AH = \dfrac{36}{5}\ cm$
$+)\quad AB^2 = BH.BC$
$\Leftrightarrow BH= \dfrac{AB^2}{BC} = \dfrac{9^2}{15}$
$\Leftrightarrow BH = \dfrac{27}{5}\ cm$
c) Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle ABH$ vuông tại $H$ đường cao $HE$ ta được:
$AH^2 = AE.AB$
Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle ACH$ vuông tại $H$ đường cao $HI$ ta được:
$AH^2 = AI.AC$
Do đó:
$AE.AB = AI.AC\quad (=AH^2)$
d) Gọi $M$ là trung điểm cạnh huyền $BC$
$\Rightarrow AM = MB = MC = \dfrac12BC$
Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle ABC$ vuông tại $H$ đường cao $AH$ ta được:
$\quad AH^2 = BH.HC$
$\Rightarrow AH = \sqrt{BH.HC}$
Ta có:
$\quad AH \leqslant AM$ (mối quan hệ đường vuông góc - đường xiên)
$\Leftrightarrow \sqrt{BH.HC} \leqslant \dfrac{BC}{2}$
Dấu $=$ xảy ra $H\equiv M$
$\Leftrightarrow \begin{cases}AM = MB = MC = \dfrac12BC\\AM\perp BC\end{cases}$
$\Leftrightarrow \triangle ABC$ vuông cân tại $A$
