Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH,\ D$ và $E$ lần lượt là hình chiếu của $H$ lên $AB$ và $AC$
a) Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ ta được:
$\begin{cases}AB^2= BH.BC\\AC^2 = CH.BC\end{cases}\Rightarrow \dfrac{AB^2}{AC^2} = \dfrac{BH}{CH}$
b) Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle ABH$ vuông tại $H$ đường cao $HD$ ta được:
$AH^2 = AD.AB$
Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ ta được:
$AH^2 = BH.CH$
Do đó:
$AD.AB = BH.CH$
c) Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ ta được:
$\dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{AB^2} + \dfrac{1}{AC^2}$
Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle ABH$ vuông tại $H$ đường cao $HD$ ta được:
$\quad \dfrac{1}{DH^2} = \dfrac{1}{AH^2} + \dfrac{1}{BH^2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{DH^2} = \dfrac{1}{AB^2} + \dfrac{1}{AC^2} + \dfrac{1}{BH^2}$
d) Áp dụng hệ thức lượng vào các tam giác vuông $ABC,\ ABH,\ ACH$ ta được:
\(\begin{array}{l}
AB^2 = BH.BC \Rightarrow CH = \dfrac{AB^2}{BC}\\
AC^2 = CH.BC\Rightarrow BH = \dfrac{AC^2}{BC}\\
BH^2 = BD.AB \Rightarrow BD = \dfrac{BH^2}{AB}\\
CH^2 = CE.AC \Rightarrow CE = \dfrac{CH^2}{AC}\\
AB.AC = AH.BC = 2S_{ABC}
\end{array}\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l}
\quad BD\sqrt{CH} + CE\sqrt{BH}\\
= BD\cdot \sqrt{\dfrac{AC^2}{BC}} + CE\cdot \sqrt{\dfrac{AB^2}{BC}}\\
= \dfrac{BD.AC + CE.AB}{\sqrt{BC}}\\
= \dfrac{\dfrac{BH^2}{AB}\cdot AC + \dfrac{CH^2}{AC}\cdot AB}{\sqrt{BC}}\\
= \dfrac{BH^2.AC^2 + CH^2.AB^2}{AB.AC.\sqrt{BC}}\\
= \dfrac{BH^2(BC^2 - AB^2) + CH^2.AB^2}{AB.AC.\sqrt{BC}}\\
= \dfrac{BH^2.BC^2 + AB^2(CH^2 - BH^2)}{AB.AC.\sqrt{BC}}\\
= \dfrac{AB^4 + AB^2(CH^2 - BH^2)}{AB.AC.\sqrt{BC}}\\
= \dfrac{AB^2(AB^2 - BH^2 + CH^2)}{AB.AC.\sqrt{BC}}\\
= \dfrac{AB^2(AH^2 + CH^2)}{AB.AC.\sqrt{BC}}\\
= \dfrac{AB^2.AC^2}{AB.AC.\sqrt{BC}}\\
= \dfrac{AB.AC}{\sqrt{BC}}\\
= \dfrac{AH.BC}{\sqrt{BC}}\\
= AH\sqrt{BC}
\end{array}\)
