Đáp án:
$\\$
`E = 6x^2 - 12x - 12xy + 9y^2 + 6y + 2029`
`-> E = 6x^2 - 12x - 12xy+ 3y^2 + 6y^2 + 12y - 6y + 6-6 + 3-3 + 2029`
`-> E = [(6x^2 - 12xy + 6y^2) - 12x + 12y + 6] + [3y^2 -6y +3] + (-6-3+2029)`
`-> E = [6 (x^2 - 2xy + y^2) - (12x - 12y) + 6] + [3 (y^2 - 2y + 1)] + 2020`
`->E = [6 (x-y)^2 - 12 (x-y) + 6] + [3 (y^2 - 2y . 1 + 1^2) ] + 2020`
`-> E = 6 [(x-y)^2 - 2 (x-y) . 1 + 1^2] + 3 (y-1)^2 + 2020`
`-> E = 6 (x-y-1)^2 + 3 (y-1)^2 + 2020`
Với mọi `x,y` có : $\begin{cases} (x-y-1)^2 ≥0\\ (y-1)^2 ≥0 \end{cases}$
`->` $\begin{cases} 6 (x-y-1)^2 ≥0∀x\\3(y-1)^2 ≥0∀y\end{cases}$
`-> 6 (x-y-1)^2 + 3 (y-1)^2 ≥0∀x,y`
`-> 6 (x-y-1)^2 + 3 (y-1)^2 + 2020 ≥ 2020∀x,y`
`-> E ≥ 2020∀x,y`
`-> min E=2020`
Dấu "`=`" xảy ra khi :
`↔` $\begin{cases} (x-y-1)^2=0\\(y-1)^2=0 \end{cases}$
`↔` $\begin{cases} x-y-1=0\\y-1=0\end{cases}$
`↔` $\begin{cases} x-y=1\\y=1 \end{cases}$
`↔` $\begin{cases} x=1+y\\y=1 \end{cases}$
`↔` $\begin{cases} x=1+1\\y=1 \end{cases}$
`↔` $\begin{cases} x=2\\y=1\end{cases}$
Vậy `min E = 2020 ↔ x=2,y=1`
