`a)`
Xét `ΔAHC` và `ΔBAC` có:
`hat{AHC}=hat{BAC}=90^o`
`hat{C}:chung`
`⇒ΔAHC`$\backsim$`ΔBAC(g.g)(đpcm)`
`b)`
Áp dụng định lý Ta-lét vào `Δ` vuông `ABC` ta có:
`BC²=AB²+AC²`
`BC²=6²+8²`
`BC²=36+64`
`BC²=100`
`BC=`$\sqrt[]{100}$
`BC=10(cm)`
Theo câu `a)ΔAHC`$\backsim$`ΔBAC(g.g)`
`⇒(AH)/(BA)=(AC)/(BC)`
`⇒(AH)/6=8/10`
`⇒AH=(6.8)/10`
`⇒AH=48/10`
`⇒AH=4,8(cm)`
Vậy `BC=10cm` và `AH=4,8cm`
`c)`
Gọi `O` là giao điểm của `AH` và `EF`
Xét tứ giác `AEHF` có:
`hat{HEA}=hat{EAF}=hat{AFH}=90^o`
`⇒` tứ giác `AEHF` là hình chữ nhật `(` tứ giác có `3` góc vuông là hình chữ nhật `)`
`⇒OA=OF(` tính chất hình chữ nhật `)`
`⇒ΔOAF` cân tại `O`
`⇒hat{A_1}=hat{F_1}(` tính chất `Δ` cân `)`
Mà `hat{A_1}+hat{C}=90^o(2` góc phụ nhau `)`
`hat{F_1}+hat{E_1}=90^o(2` góc phụ nhau `)`
`⇒hat{E_1}=hat{C}`
Xét `ΔAEF` và `ΔACB` có:
`hat{E_1}=hat{C}(cmt)`
`hat{A}:chung`
`⇒ΔAEF`$\backsim$`ΔACB(g.g)`
`⇒(AE)/(AC)=(AF)/(AB)`
`⇒AE.AB=AF.AC(đpcm)`
`d)`
Vì tứ giác `AEHF` là hình chữ nhật
`⇒EF=AH(` tính chất hình chữ nhật `)`
Theo câu `c)ΔAEF`$\backsim$`ΔACB(g.g)`
`⇒(S_(AEF))/(S_(ACB))=((EF)/(BC))^2=((AH)/(BC))^2=((4,8)/10)^2=144/625=0,2304`
