Giải thích các bước giải:
$a)$Xét $\Delta HFB$ và $\Delta HEC$
$\widehat{HFB}=\widehat{HEC}=90^o\\ \widehat{H_1}=\widehat{H_2}(đđ)\\ \Rightarrow \Delta HFB \backsim \Delta HEC$
$b)$Tứ giác $EFBC; E,F$ cùng nhìn $BC$ dưới một góc $90^o$
$\Rightarrow EFBC$ nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{EFC}=\widehat{EBC}$
$c)$Tứ giác $DFAC; D,F$ cùng nhìn $AC$ dưới mội góc $90^o$
$\Rightarrow DFAC$ nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{F_1}=\widehat{A_1}\\ \Leftrightarrow 90^o-\widehat{F_1}=90^o-\widehat{A_1}\\ \Leftrightarrow \widehat{F_2}=\widehat{ACB}$
$d)$Kẻ $DL//KE, DL \cap HE=M$
$\Delta AKL, KE//DL\\ \Rightarrow \dfrac{AK}{AD}=\dfrac{KE}{DL}(*)\\ KE//DL\\ \Rightarrow \widehat{E_1}=\widehat{M_1}$
Xét $\Delta HKE$ và $\Delta HDM$
$\widehat{E_1}=\widehat{M_1}(1)\\ \widehat{H_3}=\widehat{H_4}( đđ)\\ \Rightarrow \Delta HKE \backsim \Delta HDM\\ \Rightarrow \dfrac{HK}{HD}=\dfrac{KE}{DM}(**)$
Tứ giác $AFHE; E,F$ cùng nhìn $AH$ dưới một góc $90^o$
$\Rightarrow AFHE$ nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{E_1}=\widehat{A_2}(2)$
Chứng minh tương tự, $EDBA$ nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{E_2}=\widehat{A_2}(3)\\ (2)(3)\Rightarrow \widehat{E_1}=\widehat{E_2}(4)\\ (1)(4)\Rightarrow \widehat{E_2}=\widehat{M_1}(5)$
$\Rightarrow \Delta EDM$ cân tại $D$
$\Rightarrow DE=DM(***)$
$\Delta MEL$ vuông tại $E$
$\Rightarrow \widehat{M_1}+\widehat{L_1}=90^o(6)$
Có $\widehat{E_2}+\widehat{E_3}=90^o(7)$
$(5)(6)(7) \Rightarrow \widehat{L_1}=\widehat{E_3}$
$\Rightarrow \Delta DEL$ cân tại $D$
$\Rightarrow DL=DE(****)\\ (*)(**)(***)(****)\Rightarrow \dfrac{AK}{AD}=\dfrac{HK}{HD}\\ \Rightarrow AD.HK=AK.HD$
