Đáp án + Giải thích các bước giải:
a) $(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$
$=a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2$
$=a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2$
$=a^2(c^2+d^2)+b^2(c^2+d^2)$
$=(a^2+b^2)(c^2+d^2)$
b) Ta có: $(ac+bd)^2 \leq (a^2+b^2)(c^2+d^2)$
$⇔a^2c^2+2abcd+b^2d^2\leq a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2$
$⇔ a^2d^2-2abcd+b^2c^2 \geq 0 $
$⇔(ad-bc)^2 \geq 0 $ (luôn đúng)
Vậy ta có được bất đẳng thức Bunhiacôpxki: $(ac+bd)^2 \leq (a^2+b^2)(c^2+d^2)$
Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$