Giải thích các bước giải:

 Bài 10:

a/. A = x² + y² - 6x + 5y = 1

A = x²- 6x + 9 + y² + 2.y.`5/2` + `(25)/4` - `(25)/4` - 9 + 1

A = (x - 3)² + (y + `5/2`)² - `(57)/4`

Vì (x - 3)² ≥ 0 với ∀x  và (y + `5/2`)² ≥ 0 với ∀y

⇒ (x - 3)² + (y + `5/2`)² - `(57)/4` ≥ - `(57)/4`

Dâu "=" xảy ra khi: x = 3 và y = -`5/2`

Vậy GTNN của A là - `(57)/4` xảy ra khi x = 3 và y = -`5/2`

b/. B= 5x² + y² + 4xy - 14x - 6y + 10

B = (4x² + y² + 9 + 4xy - 6y - 12x) + (x² - 2x + 1)

B = ( 4x²+ 4xy +y² ) + (- 12x - 6y + 9 ) + (x² - 2x + 1)

B = (2x + y)² - 6(2x + y) + 9 + (x - 1)²

B = (2x + y)² - 2.(2x + y). 3 + 3² + (x - 1)²

B = (2x + y - 3)² + (x - 1)² 

Ta có: (2x + y - 3)² ≥ 0 với ∀x,y và  (x - 1)² ≥ 0 với ∀x

⇒ (2x + y - 3)² + (x - 1)²  ≥ 0 với ∀x,y

Dâu "=" xảy ra khi: x = 1 và (2x + y - 3)² = 0

                                          ⇔ 2x + y - 3 = 0

                                              2. 1 + y - 3 = 0 ⇒ y = 1

Vậy GTNN của B là 0 xảy ra  khi x = 1 và y - 1

c/. C = (x - 2)(x - 5)(x² - 7x - 10)

C = ( x² - 5x - 2x + 10)(x² - 7x - 10)

C = [(x² - 7x) + 10][(x² - 7x) - 10]

C = (x² - 7x)² - 10²

C = (x² - 7x)² - 100

Vì (x² - 7x)² ≥ 0 với ∀x

⇒ (x² - 7x)² - 100 ≥ - 100 với ∀x

Dâu "=" xảy ra khi:

(x² - 7x)² = 0

⇔ x² - 7x = 0

⇔ x(x - 7) = 0

⇒ x = 0 hay x = 7

Vậy Vậy GTNN của C là - 100 xảy ra khi x = 0 hay x = 7

d/. D = 2x² + 9y² - 6xy - 6x - 12y + 2019

D =  x² - 6xy + 9y² + 4x - 12y + 4 + x² - 10x + 25 + 1990

D = (x² - 6xy + 9y²) + (4x - 12y) + 4 + (x² - 10x + 25) + 1990

D = [(x - 3y)² + 4(x - 3y) + 4] + (x - 5)² + 1990

D = (x - 3y + 2)² + (x - 5)² + 1990

Vì (x - 3y + 2)² ≥ 0 với ∀x, y  và (x - 5)² ≥ 0 với ∀x

⇒ (x - 3y + 2)² + (x - 5)² + 1990 ≥ 1990 với ∀x, y

Dâu "=" xảy ra khi: x = 5 và (x - 3y + 2)² = 0

                                          ⇔ x - 3y + 2 = 0

                                          ⇔ 5 - 3y + 2 = 0 ⇒ y = `7/3`

 Vậy GTNN của D là 1990 xảy ra khi x = 5 và y =`7/3`

 Bài 11: 

a/.  (a - b - c)² - (a - b + c)² 

Đặt x = (a - b), ta có:

   (x - c)² - (x + c)² 

= x² - 2xc + c² - (x² + 2xc + c²)

= (x² - x²) + (- 2xc - 2xc) + (- c²+ c²)

=  - 4xc  (1)

Thay x = (a + b) vào (1), ta có:

=- 4(a - b)c 

=- 4ac + 4bc

b/. (a - x - y)³ - (a + x - y)³

Đặt t = (x - y), ta có:

    (a - t)³ - (a + t)³

= a³ - 3a²t + 3at² - t³ - (a³ + 3a²t + 3at² + t³)

= a³ - 3a²t + 3at² - t³ - a³ - 3a²t - 3at² - t³

= (a³ - a³) + (- 3a²t - 3a²t) + (3at² - 3at²) + (- t³ - t³)

= - 6a²t - 2t³  (2)

Thay  t = (x - y) vào (2) , ta có:

= - 6a²(x - y) - 2(x - y)³

= - (x - y)[6a² - 2(x² - 2xy + y²)

= -(x - y)(6a² - 2x² + 4xy - 2y²)

c/. (a + 1)(a + 2)(a² + 4)(a - 1)(a² + 1)(a - 2)

= (a + 1)(a - 1)(a + 2)(a - 2)(a² + 4)(a² + 1)

= (a² - 1²)(a² - 2²)(a² + 4)(a² + 1)

= (a² - 1)(a² + 1)(a² - 4)(a² + 4)

= (a⁴ - 1)(a⁴ - 16)

= a¹⁶ - 16a⁴  - a⁴  + 16

= a¹⁶ - 17a⁴  + 16

Chúc bạn học tốt nhé