Đáp án:
Câu `1:`
`a,` Điều kiện: `0<=x;y<=9`
Đặt `A=\overline(8x36y)`
Ta có: `ƯCLN(9;10)=1` nên ta chỉ cần tìm hai chữ số `x,y` để `A\vdots9;10(` thì `A` sẽ chia hết cho `90)`
`+)` Vì `A\vdots10` nên `A` tận cùng là `0` khi và chỉ khi `y=0`
`+)` Để `A\vdots9` thì tổng các chữ số phải chia hết cho `9` mà `y=0` nên:
`(8+x+3+6+y)\vdots9`
`<=>` `(8+x+3+6+0)\vdots9`
`<=>` `17+x\vdots9`
`=>` `x=1`
Vậy `x=1` và `y=0` thì `\overline(8x36y)\vdots90`
`b,` Theo giả thiết ta có:
`{(x\vdots12),(x\vdots20),(x\vdots40):}=>x\in BC(12;20;40)`
Mặt khác: `{(12=2^2xx3),(20=2^2xx5),(40=2^3xx5):}=>BCN N(12;20;40)=2^3xx3xx5=120`
Từ đó đó suy ra:
`x\in BC(12;20;40)=B(120)={0;120;240;...}`
Mà `x<200` nên:
`x\in{0;120}`
Vậy `x\in{0;120}`
`c,` `A=3+3^2+3^3+...+3^30`
`+)` Chứng minh `A\vdots13;52`
`@` Chứng minh `A\vdots13`
`A=3+3^2+3^3+...+3^30`
`=(3+3^2+3^3)+(3^4+3^5+3^6)+...+(3^28+3^29+3^30)`
`=3(1+3+3^2)+3^4(1+3+3^2)+...+3^28(1+3+3^2)`
`=3xx13+3^4xx13+...+3^28xx13`
`=13xx(3+3^4+...+3^28)\vdots13`
`=>` `A\vdots13`
`=>` đpcm.
`@` Chứng minh `A\vdots52`
Ta có: `ƯCLN(13;4)=1` mà `13xx4=52` nên `A\vdots13;4` thì `A\vdots52`
Ở trên dễ dàng chứng minh được `A\vdots13` `(1)`
`A=3+3^2+3^3+...+3^30`
`=(3+3^2)+(3^3+3^4)+...+(3^29+3^30)`
`=3(1+3)+3^3(1+3)+...+3^29(1+3)`
`=3xx4+3^3xx4+...+3^29xx4`
`=4xx(3+3^3+...+3^29)\vdots29` `(2)`
Từ `(1)` và `(2)` suy ra: `A\vdots13;4` hay `A\vdots52`
`=>` đpcm.
`+)` `A` không là số chính phương vì:
Ta có tính chất: Nếu `k` là số nguyên tố và `m` là số chính phương, `m\vdots k=>m\vdotsk^2`
Luôn có `A\vdots3`
Áp dụng ta dễ thấy:
`{(3\cancel(vdots)3^2),(3^2\vdots3^2),(3^3\vdots3^2),(...),(3^30\vdots3^2):}`
Từ đó suy ra: `A\vdots3` và `Acancel(vdots)3^2`
`=>A\text( không phải số chinh phương.)`
