Đáp án:
$\\$
`a,`
Xét `ΔABM` và `ΔAEM` có :
`AB=AE` (gt)
`AM` chung
`hat{BAM}=hat{EAM}` (gt)
`-> ΔABM = ΔAEM` (cạnh - góc - cạnh)
$\\$
`b,`
Có : `AB=AE` (gt)
`-> A` nằm trên đường trung trực của `BE` `(1)`
Do `ΔABM = ΔAEM` (cmt)
`-> BM=EM` (2 cạnh tương ứng)
`-> M` nằm trên đường trung trực của `BE` `(2)`
Từ `(1), (2)`
`-> AM` là đường trung trực của `BE`
`-> AM` đi qua trung điểm của `BE`
mà `I` là giao của `AM` và `BE`
`-> I` là trung điểm của `BE`
`-> BI=EI`
$\\$
`c,`
Do `AM` là đường trung tuyến của `BE` (cmt)
`-> AM⊥BE` tại `I`
`-> AI⊥IE`
Xét `ΔAIE` có :
`hat{AIE}=90^o` (Do `AI⊥IE`)
Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :
`AE` là cạnh lớn nhất
`-> EI < AE`
$\\$
`c,`
Do `ΔABM=ΔAEM` (cmt)
`-> hat{ABM}=hat{AEM}` (2 góc tương ứng)
Có : `hat{ABM} + hat{KBM}=180^o` (2 góc kề bù)
Lại có : `hat{AEM} + hat{CEM}=180^o` (2 góc kề bù)
mà `hat{ABM}=hat{AEM}` (cmt)
`-> hat{KBM}=hat{CEM}`
Xét `ΔKBM` và `ΔCEM` có :
`hat{KBM}=hat{CEM}` (cmt)
`BM=EM` (cmt)
`hat{BMK}=hat{EMC}` (2 góc đối đỉnh)
`-> ΔKBM = ΔCEM` (góc - cạnh - góc)
`-> BK = EC` (2 cạnh tương ứng)
Có : `AB + BK = AK, AE + EC = AC`
mà `AB=AE` (gt) và `BK=EC` (cmt)
`-> AK = AC`
Xét`ΔAHK` và `ΔAHC` có :
`AH` chung
`AK=AC` (cmt)
`hat{KAH}=hat{CAH}` (gt)
`-> ΔAHK = ΔAHC` (cạnh - góc - cạnh)
`-> KH=CH` (2 cạnh tương ứng)
`-> H` là trung điểm của `KC`
`-> AH` là đường trung tuyến của `ΔAKC`
