B1:
Ta có ( p-1 )p ( p+1 ) ⋮ 3 mà (p, 3) = 1 nên
( p-1 ) ( p+1 ) ⋮ 3 (1)
p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẽ, p – 1 và p + 1 là hai số chẳn liên tiếp , có một số là bội của 4 nên tích của chúng chia hết cho 8 (2)
Từ (1) và (2) suy ra (p – 1)(p + 1) chia hết cho 2 nguyên tố cùng nhau là 3 và 8
Vậy (p – 1)(p + 1) chia hết cho 24.
B2:
a) p là số nguyên tố ⇒ 4p + 11 ≥ 4.2 + 11 ⇒ 4p +11 ≥ 4.2 + 11 (Vì 4p +11 nhỏ nhất khi p nhỏ nhất ⇒ p =2)
Các số nguyên tố bé hơn 30 và lớn hơn 15 là :19;23;29
Xảy ra 3 trường hợp:
Nếu 4p+11=19 ⇒ p = 24p +11=19 ⇒ p = 2 (thoả mãn)
Nếu 4p +11= 23 ⇒ p = 34p + 11= 23 ⇒ p=3 (thoả mãn)
Nếu 4p +11=29 ⇒ p = 4,54p + 11= 29 ⇒ p = 4,5 (không thoả mãn)
Vậy p =3 hoặc p =2
b) - Với p = 2 thì p + 2 = 2 + 2 = 4 là hợp số (Loại)
- Với p = 3 thì p + 2 = 3 + 2 = 5, p + 4 = 3 + 4 = 7 là các số nguyên tố (Thỏa mãn).
- Với p > 3: p là số nguyên tố nên suy ra: p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 (k ∈ N*).
+) p = 3k + 1: Ta có: p + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3 = 3.(k + 1) ⋮ 3 là hợp số (Loại)
+) p = 3k + 2: Ta có: p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) ⋮ 3 là hợp số (Loại).
Với p > 3 không có giá trị nào thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
KL: p = 3 là thỏa mãn yêu cầu bài toán.
c) +) Nếu p = 2k => p = 2 => p + 10 và p + 14 đều là hợp số. (không TM)
+) Nếu p = 2k + 1 thì p có dạng 3k, 3k + 1. 3k + 2
Nếu p = 3k => p = 3 => p + 10 = 13 và p + 14 = 17 (13;17 là số nguyên tố nên thỏa mãn)
Nếu p = 3k + 1 thì p + 14 = 3k + 1 + 14 = 3k + 15 = 3(k + 5) chia hết cho 3 (không TM vì là hợp số)
Nếu p = 3k + 2 thì p + 10 = 3k + 10 + 2 = 3k + 12 = 3(k + 4) chia hết cho 3 (không TM vì là hợp số)
Vậy: p = 3 thì p + 10 và p + 14 là số nguyên tố.
B3:
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3. => khi chia p cho 3 ta có 2 dạng: p = 3k +1 hoặc p=3k+2 (kϵ N*)
Nếu p= 3k+2 => p+4 = 3k+2+4 = 3k+6 chia hết cho 3 và lớn hơn 3.
=> p+4 là hợp số ( trái với đề, loại)
Vậy p = 3k+1.
=> p+8 = 3k+1+8=3k+9 chia hết cho 3 và lớn hơn 3.
=> p+8 là hợp số.
Kết luận: p+8 là hợp số.(đpcm)
