Lời giải:
a) Ta có:
$SA,\ SB$ lần lượt là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A,\ B$
$\Rightarrow \begin{cases}OA\perp SA\\OB\perp SB\end{cases}$
$\Rightarrow \triangle SAO$ vuông tại $A,\ \triangle SBO$ vuông tại $B$
Gọi $I$ là trung điểm cạnh huyền $SO$
$\Rightarrow \begin{cases}IS = IA = IO=\dfrac12SA\\IS = IB = IO=\dfrac12SA\end{cases}$
$\Rightarrow IS = IA = IO = IB$
$\Rightarrow S,A,O,B$ cùng thuộc một đường tròn tâm $I$, đường kính $SO$
b) Ta có:
$SA = SB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
$OA = OB = R$
$\Rightarrow SO$ là trung trực của $AB$
mà $SO\cap AB= H$
nên $\begin{cases}HA = HB =\dfrac12AB\\\widehat{H}= 90^\circ\end{cases}$
$\Rightarrow AH\perp SO$
Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle SAO$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ ta được:
$\quad \dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{OA^2} + \dfrac{1}{SA^2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{AC}{2}\right)^2} + \dfrac{1}{SA^2}$
$\Leftrightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{4}{AC^2} + \dfrac{1}{SA^2}$
$\Leftrightarrow\dfrac{1}{AH^2}=1$
$\Leftrightarrow AH^2 = 1$
$\Rightarrow AH = 1$
$\Rightarrow AB = 2AH = 2$
