Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Bài 7:
Bổ đề: $ΔMNP$ nội tiếp $(X)$ có $Y$ là trực tâm và $Z$ là trung điểm $NP$
Khi đó ta có: $MY=2.XZ$
Chứng minh:
Gọi $H$ là trực tâm $ΔABC$
Gọi $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ lần lượt là trực tâm $ΔDBC, ΔECA, ΔFAB$
Gọi $I$ là trung điểm $BC$
Khi đó, $AH ⊥ BC$ và $AH=2OI$
$A_{1}D ⊥ BC$ và $A_{1}D=2OI$
$⇒ AH // A_{1}D$ và $AH=A_{1}D$
$⇒ AHA_{1}D$ là hình bình hành
$⇒ A_{1}H // AD$
Tương tự: $B_{1}H // BE$
và $C_{1}H // CF$
Mà $AD // BE // CF$ nên $A_{1}H // B_{1}H // C_{1}H$
Hay $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ thẳng hàng $(đpcm)$
Bài 8:
a/ Gọi $H$ là trung điểm $AK$
Gọi $E$ trung điểm $BC$
Khi đó, $OH$ là đường trung bình $ΔAKD$
$⇒ OH // DK$ và $OH=\dfrac{1}{2}DK$
Mà $DK // BC$ và $\dfrac{1}{2}DK=\dfrac{1}{2}BC=BE$
nên $OH // BC$ và $OH=BE$
$⇒ OHBE$ là hình bình hành
Vì $\widehat{OEB}=90^0$ nên $OHBE$ là hình chữ nhật
$O, E, B$ là các điểm cố định nên $H$ cố định
Vậy $AK$ luôn đi qua $H$ cố định
b/ Trên tia đối tia $BE$ lấy điểm $G$ và trên tia đối tia $HO$ lấy điểm $F$
sao cho $HBGF$ là hình chữ nhật và $FH=BE$
$⇒ FHEB$ là hình bình hành
$⇒ FB=HE$
Mà $HE=OB$ (hình chữ nhật $OHBE$) nên $FB=OB$ $(1)$
Mặt khác: $OF // GE // KD$ và $OF=2BE=BC=KD$
$⇒ OFKD$ là hình bình hành
$⇒ FK=OD=OB$ $(2)$
Từ $(1), (2)$ suy ra: $FB=FK$
$⇒ K$ thuộc đường tròn tâm $F$ bán kính $FB$
Mà $F, B$ cố định nên đường tròn $(F; FB)$ cố định
Vậy $K$ luôn thuộc đường tròn $(F; FB)$ cố định
