Phương trình hoành độ giao điểm:
$x^3-3x+1=mx+m+3$
$\to x^3-(m+3)x-m-2=0$
$\to (x+1)(x^2-x-m-2)=0$
$\to \left[ \begin{array}{l}x=-1\\x^2-x-m-2=0 \quad(*) \end{array} \right.$
$(d)$ cắt $(C)$ tại ba điểm phân biệt khi $(*)$ có hai nghiệm phân biệt khác $-1$
$\to \begin{cases} \Delta=1+4(m+2)=4m+9>0\\ 1+1-m-2\ne 0\end{cases}$
$\to \begin{cases} m>\dfrac{-9}{4}\\ m\ne 0\end{cases}$
Hoành độ $x_1$, $x_2$ của $N$, $P$ là nghiệm $(*)$
Theo Viet: $\begin{cases} x_1+x_2=1\\ x_1x_2=-m-2\end{cases}$
Tiếp tuyến tại $N$,$P$ vuông góc nên $f'(x_1).f'(x_2)=-1$
Ta có: $f'(x)=3x^2-3$
$\to (3x_1^2-3)(3x_2^2-3)=-1$
$\to 9(x_1x_2)^2-9(x_1^2+x_2)^2+9=-1$
$\to 9(x_1x_2)^2-9[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2)+9=-1$
$\to 9(m+2)^2-9(2m+5)+10=0$
$\to 9m^2+18m+1=0$
$\to m=\dfrac{-3\pm2\sqrt2}{3}$ (TM)
