$7^n+3n-1\quad\vdots\quad 9$ với $n\in\mathbb{N}$ (*)
Với $n=0$ ta có:
$7^0+3.0-1=0\vdots 9$ (đúng)
Giả sử (*) đúng với $n=k$ ($k\in\mathbb{N}$):
$7^k+3k-1\quad\vdots\quad 9$
Cần chứng minh (*) đúng với $n=k+1$:
$7^{k+1}+3(k+1)-1\quad\vdots\quad 9$
Thật vậy:
$7^{k+1}+3(k+1)-1$
$=7^k.7+3k+3-1$
$=7(7^k+3k-1)-18k+9$
$=7(7^k+3k-1)-9(2k-1)\quad\vdots\quad 9$ do $\begin{cases} 7^k+3k-1\quad\vdots\quad 9\\ 9(2k-1)\quad\vdots\quad 9\end{cases}\quad\quad\quad\blacksquare$
