$I$ là tâm đường tròn nội tiếp $∆ABC$
`=>I` là giao điểm $3$ đường phân giác của $∆ABC$
Vẽ phân giác $AD$ của `\hat{A}` ($D\in BC)$
`=>{BD}/{CD}={AB}/{AC}`
`=>{BD}/c={CD}/b={BD+CD}/{c+b}={BC}/{c+b}` (tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
`=>BD=c/{b+c}BC={ac}/{b+c}`
`=>\vec{BD}=c/{b+c}\vec{BC}=c/{b+c}(\vec{AC}-\vec{AB})`
$\\$
Vì `BI` là phân giác của `\hat{ABD}`
`=>{IA}/{ID}={AB}/{BD}=`$\dfrac{c}{\dfrac{ac}{b+c}}$`={b+c}/a`
`=>IA={b+c}/aID`
`=>\vec{IA}=-{b+c}/a\vec{ID}` $(1)$
$\\$
Ta có: `\vec{AD}=\vec{AB}+\vec{BD}`
`=\vec{AB}-c/{b+c}\vec{AB}+c/{b+c} \vec{AC}`
`=b/{b+c}\vec{AB}+c/{b+c}\vec{AC}`
`=>\vec{AI}+\vec{ID}=b/{b+c}(\vec{AI}+\vec{IB})+c/{b+c}(\vec{AI}+\vec{IC})`
`=>\vec{ID}=(1-b/{b+c}-c/{b+c})\vec{IA}+b/{b+c}\vec{IB}+c/{b+c}\vec{IC}`
`=>\vec{ID}=b/{b+c}\vec{IB}+c/{b+c}\vec{IC}` $(2)$
$\\$
Từ `(1);(2)`
`=>\vec{IA}=-{b+c}/a.(b/{b+c}\vec{IB}+c/{b+c}\vec{IC})`
`=-b/a\vec{IB}-c/a\vec{IC}`
`=>a\vec{IA}+b\vec{IB}+c\vec{IC}=\vec{0}` (đpcm)
