`a.` Xét `ΔBAD` và `ΔBHD` có:
$B_{1}$ $= B_{2}$ ( `BD` là phân giác )
`BAD = BHD` `( 90^0 )`
`BD` chung
`=> ΔBAD = ΔBHD` ( c.g.c)
`AD = DH`
`b.` Ta có `BD` là tia p/g `ABC` và cắt `AC` tại `D`
`=> D` là trung điểm `AC` `=> AD = DC`
`c.` Xét tam giác vuông `ADK` và `HDC` có:
`AD = DH` ( do `ΔBAH = BHD )`
`ADK = HDC`
`=> ΔADK = ΔHDC`
Ta có:
`BK = BA + AK`
`BC = BH + HC`
Mà `BA = BH` `( ΔBAH = ΔBHD )`
`AK = HC ( ΔADK = ΔHDC )
`=> BK = BC =>ΔKBC cân tại `B`
mà `BD` là p/g `=>BD` cũng là trung truyến
`=> D` là trọng tâm `ΔBKC`
`d.` Gọi `BD ∩ CK = I`
`BI` là trung tuyến `=> KI =` $\frac{CK}{2}$
`=> BI ⊥ CK` tại `I`
Xét `ΔDKI` vuông góc `I` có:
`DK > KI`
`=> DK >` $\frac{CK}{2}$
Xét `ΔADK` vuông góc `A` có:
`AD + AK >DK`
`=> AD + AK > DK >` $\frac{CK}{2}$
`=> AD + AK >` $\frac{KC}{2}$