Đáp án:

$\begin{array}{l}
1){\left( {2x - 3} \right)^2} + 5\\
Do:{\left( {2x - 3} \right)^2} \ge 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {2x - 3} \right)^2} + 5 \ge 5\\
 \Leftrightarrow GTNN = 5\,khi:x = \dfrac{3}{2}\\
2)\\
{\left( {5x + 7} \right)^8} - 2020\\
 = {\left[ {{{\left( {5x + 7} \right)}^2}} \right]^4} - 2020 \ge  - 2020\\
 \Leftrightarrow GTNN =  - 2020\\
Khi:x =  - \dfrac{7}{5}\\
3)2016 + \left| {1 - 2019x} \right| \ge 2016\\
 \Leftrightarrow GTNN = 2016\,khi:x = \dfrac{1}{{2019}}\\
4)\\
 - 9 + \left| {4x + 1} \right| \ge  - 9\\
 \Leftrightarrow GTNN =  - 9\\
Khi:x =  - \dfrac{1}{4}\\
5)\\
A = \left| {x - 1} \right| + \left| {x - 2} \right|\\
 = \left| {x - 1} \right| + \left| {2 - x} \right|\\
 \ge \left| {x - 1 + 2 - x} \right|\\
 \Leftrightarrow A \ge \left| 1 \right|\\
 \Leftrightarrow A \ge 1\\
 \Leftrightarrow GTNN:A = 1\,\\
Khi:x - 1 = 2 - x \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2}\\
6)2021 - \dfrac{{15}}{{3 + \left| {x - 2021} \right|}}\\
Do:3 + \left| {x - 2021} \right| \ge 3\\
 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{3 + \left| {x - 2021} \right|}} \le \dfrac{1}{3}\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{15}}{{3 + \left| {x - 2021} \right|}} \le 5\\
 \Leftrightarrow  - \dfrac{{15}}{{3 + \left| {x - 2021} \right|}} \ge  - 5\\
 \Leftrightarrow 2021 - \dfrac{{15}}{{3 + \left| {x - 2021} \right|}} \ge 2021 - 5 = 2016\\
Vậy\,GTNN = 2016\,khi:x = 2021
\end{array}$

Đáp án:

$\\$

`1,`

`(2x-3)^2 + 5`

Với mọi `x` có : `(2x-3)^2 ≥ 0`

`-> (2x-3)^2 + 5 ≥ 5∀x`

Dấu "`=`" xảy ra khi :

`↔ (2x-3)^2=0`

`↔2x-3=0`

`↔2x=3`

`↔x=3/2`

Vậy GTNN là `5 ↔x=3/2`

`2,`

`(5x+7)^8 - 2020`

Với mọi `x` có : `(5x+7)^8 ≥ 0`

`-> (5x+7)^8 -2020 ≥ -2020 ∀x`

Dấu "`=`" xảy ra khi :

`↔ (5x+7)^8=0`

`↔5x+7=0`

`↔5x=-7`

`↔x=(-7)/5`

Vậy GTNN là `-2020 ↔ x=(-7)/5`

`3,`

`2016 + |1-2019x|`

Với mọi `x` có : `|1-2019x| ≥ 0`

`-> 2016 + |1-2019x| ≥ 2016 ∀x`

Dấu "`=`" xảy ra khi :

`↔ |1-2019x|=0`

`↔1-2019x=0`

`↔2019x=1`

`↔x=1/2019`

Vậy GTNN là `2016 ↔x=1/2019`

`4,`

`-9 + |4x+1|`

Với mọi `x` có : `|4x+1| ≥ 0`

`-> -9 + |4x+1| ≥-9∀x`

Dấu "`=`" xảy ra khi :

`↔ |4x+1|=0`

`↔4x+1=0`

`↔4x=-1`

`↔x=(-1)/4`

Vậy GTNN là `-9 ↔x=(-1)/4`

`5,`

`|x-1| + |x-2|`

`= |x-1| + |2-x|`

Áp dụng BĐT `|a| + |b| ≥ |a+b|` có :

`-> |x-1| + |2-x| ≥ |x-1 + 2-x|`

`-> |x-1| + |2-x| ≥ |1| = 1 ∀x`

Dấu "`=`" xảy ra khi :

`↔ (x-1) (2-x) ≥ 0`

Trường hợp 1 :

`->x-1 ≥ 0,2-x≥0`

`->x≥1,x≤2`

`->1≤x≤2`(Luôn đúng)

Trường hợp 2 :

`-> x-1≤ 0,2-x≤0`

`->x≤1,x≥2`

`->2≤x≤1` (Vô lí)

Vậy GTNN là `1 ↔ 1≤x≤2`

`6,`

`2021 - 15/(3+ |x-2021| )`

Với mọi `x` có : `|x-2021| ≥ 0`

`-> 3 + |x-2021| ≥ 3∀x`

`-> 15/(3+|x-2021|) ≤ 15/3 = 5∀x`

`-> 2021 - 15/(3+ |x-2021|) ≥ 2021 - 5 = 2016 ∀x`

Dấu "`=`" xảy ra khi :

`↔ |x-2021|=0`

`↔x-2021=0`

`↔x=2021`

Vậy GTNN là `2016 ↔x=2021`