Hướng dẫn trả lời:
2)
a) Ta có: `2^{51} - 1`
`= (2^{3})^{17} - 1`
Vì `(2^{3})^{17} vdots 2^3 = 8` nên `(2^{3})^{17} - 1 vdots 2^3 - 1 = 8 - 1 = 7`
Hay `2^{51} - 1 vdots 7`
`→ đpcm.`
b) Ta có: `n^3 - n`
`= n.(n^2 - 1)`
`= n.(n + 1).(n - 1)` (Áp dụng HĐT `A^2 - B^2 = (A + B).(A - B)`
`= (n - 1).n.(n + 1)`
Vì tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6 nên `(n - 1).n.(n + 1) vdots 6`.
Hay `(n^3 - n) vdots 6`.
`→ đpcm.`
3)
a) `(x - y + 4)^2 - (2x + 3y - 1)^2`
`= [(x - y + 4) + (2x + 3y - 1)].[(x - y + 4) - (2x + 3y - 1)]`
`= (x - y + 4 + 2x + 3y - 1).(x - y + 4 - 2x - 3y + 1)`
`= [(x + 2x) + (- y + 3y) + (4 - 1)].[(x - 2x) + (- y - 3y) + (4 + 1)]`
`= (3x + 2y + 3).(- x - 4y + 5)`
`= - (3x + 2y + 3).(x + 4y - 5)`
b) `(x^2 + y^2 - 5)^2 - 4x^2y^2 - 16xy - 16`
`= (x^2 + y^2 - 5)^2 - (4x^2y^2 + 16xy + 16)`
`= (x^2 + y^2 - 5)^2 - [(2xy)^2 + 2.2xy.4 + 4^2]`
`= (x^2 + y^2 - 5)^2 - (2xy + 4)^2`
`= [(x^2 + y^2 - 5) + (2xy + 4)].[(x^2 + y^2 - 5) - (2xy + 4)]`
`= (x^2 + y^2 - 5 + 2xy + 4).(x^2 + y^2 - 5 - 2xy - 4)`
`= [(x^2 + 2xy + y^2) - (5 + 4)].[(x^2 - 2xy + y^2) + (- 5 - 4)]`
`= [(x + y)^2 - 1].[(x - y)^2 - 9]`
`= [(x + y)^2 - 1^2].[(x - y)^2 - 3^2]`
`= [(x + y) + 1].[(x + y) - 1].[(x - y) + 3].[(x - y) - 3]`
`= (x + y + 1).(x + y - 1).(x - y + 3).(x - y - 3)`
