Giải thích các bước giải:
$a/$ $*~$Tính độ dài của $MN$
Xét $Δ~ABC$ có $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$
$⇒~MN$ là đường trung bình của $Δ~ABC$
$⇒~MN//AC$ và $MN=\frac{AC}{2}$ ( tính chất đường trung bình của $Δ$ )
Vậy: $MN=\frac{9}{2}=4,5~(cm)$
$b/$
$*~$Chứng minh: Tứ giác $AEBN$ là hình bình hành:
Xét tứ giác $AEBN$
Ta có: $M$ là trung điểm của $AB$ ( gt )
$M$ là trung điểm của $EN$ ( vì $E$ đối xứng với $N$ qua $M$)
Vậy: Tứ giác $AEBN$ là hình bình hành. (Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).
$*~$Chứng minh: $PC=3.PL$
Xét $Δ~AEN$ có $P$ và $M$ lần lượt là trung điểm của $AN$ và $NE$
$⇒~$ $PM$ là đường trung bình của $Δ~AEN$
$⇒~PM//AE$ và $PM=\frac{AE}{2}$ ( tính chất đường trung bình của $Δ$ )
$⇒~\frac{PM}{AE}=\frac{PL}{AE}=\frac{1}{2}$
$⇒~\frac{PL}{PC}=\frac{PL}{PE}=\frac{1}{3}$
Vậy: $PC=3.PL$ (đpcm)
$c/$
$*~$Chứng minh:$DPNQ$ là hình thoi.
Gọi $F$ là giao điểm của $DN$ và $PQ$
Ta có: $P$ đối xứng với $Q$ qua $BC$
$⇒~PQ⊥BC$ tại $F$ và $F$ là trung điểm của $PQ$
Xét tứ giác $AENC$
Ta có: $AE//CN$ và $AE~=~CN~(=BN)$
$⇒~$ Tứ giác $AENC$ là hình bình hành
$⇒~P$ là trung điểm của $AN$Xét $Δ~ADN$
Ta có: $P$ là trung điểm của $AN$
$PF//AD$(cùng $⊥BC$)
$⇒~PF$ là đường trung bình của $Δ~ADN$
$⇒~F$ là trung điểm của $DN$
Xét tứ giác $DPNQ$
Ta có: $F$ là trung điểm của $DN$
$F$ là trung điểm của $PQ$
$⇒~$ Tứ giác $DPNQ$ là hình bình hành (Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường )
Mà: $PQ⊥DN$
Vậy: Tứ giác $DPNQ$ là hình thoi. (Hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc với nhau).
$d/$
$*~$Chứng minh:$BNSE$ là hình thang cân:
Ta có: AEBN là hình bình hành (cmt)
$⇒~AE//AN$
Mà $S∈ AE$
$⇒~ES//BN$
Ta có: $DPNQ$ là hình thoi (cmt)
$⇒~ND$ là đường phân giác $\widehat{PNQ}$
$⇒~\widehat{QND}=\widehat{PND}$
Mà: $\widehat{QND}=\widehat{SNC}$ ($2$ góc đối đỉnh)
$⇒~\widehat{PND}=\widehat{QND}$
Mà: $\widehat{BES}=\widehat{PND}$ (tính chất hình bình hành $AEBN$)
Lại có: $\widehat{QND}=\hat{S}$ ($2$ góc so le trong do $ES//BN$)
$⇒~\widehat{BES}=\hat{S}$
Xét tứ giác $BNSE$
Ta có: $ES//BN$ (cmt)
⇒ Tứ giác $BNSE$ là hình thang
Mà: $\widehat{BES}=\hat{S}$ (cmt)
Vậy: Hình thang $BNSE$ là hình thang cân.
Bạn Tham Khảo Nhoa
CHÚC BẠN HỌC TỐT ^^
# NO COPY
NPQAn
Hình chỉ mang tính chất minh họa. Khi bạn chú ý vẽ thêm các kí hiệu hình học nha(góc vuông, trung điểm, đối xứng,...). Mình vẽ trên Paint nên chưa chính xác. Mong bạn thông cảm.
