Giải thích các bước giải:
$a)\Delta ABC$, đường cao $BE, CF$ cắt nhau tại $O$
$\Rightarrow O$ là trực tâm $\Delta ABC$
$\Rightarrow AO \perp BC$
Mà $\Delta ABC$ cân tại $A$
$\Rightarrow AO$ đồng thời là đường cao, phân giác, trung tuyến, trung trực
$b)\Delta ABC$ cân tại $A$
$\Rightarrow \widehat{FBC}=\widehat{ECB}$
Xét $\Delta FBC$ và $\Delta ECB$
$BC$: chung
$\widehat{FBC}=\widehat{ECB}\\ \widehat{BFC}=\widehat{CEB}=90^\circ\\ \Rightarrow \Delta FBC = \Delta ECB\\ \Rightarrow FB=EC(1)$
Mà $AB=AC$
$\Rightarrow AF=AE$
$\Rightarrow \Delta AFE$ cân tại $A$
$\Rightarrow \widehat{AFE}=\dfrac{180^\circ-\widehat{FAE}}{2}=\dfrac{180^\circ-\widehat{BAC}}{2}$
$\Delta ABC$ cân tại $A$
$\Rightarrow \widehat{ABC}=\dfrac{180^\circ-\widehat{BAC}}{2}\\ \Rightarrow \widehat{AFE}=\widehat{ABC}\\ \Rightarrow EF//BC(2)$
$(1)(2) \Rightarrow BFEC$ là hình thang cân
$c)DM//AB\\ CF \perp AB\\ \Rightarrow DM \perp CF$
Tương tự $DN \perp BE$
$\Delta FBC = \Delta ECB\\ \Rightarrow \widehat{C_1}=\widehat{B_1}$
Mà $\widehat{B_1}+\widehat{O_1}=90^\circ$
$\widehat{C_1}+\widehat{O_2}=90^\circ\\ \Rightarrow \widehat{O_1}=\widehat{O_2}$
Xét $\Delta OMD$ và $\Delta OND$
$OD:$ chung
$\widehat{OMD}=\widehat{OND}=90^\circ\\ \widehat{O_1}=\widehat{O_2}\\ \Rightarrow \Delta OMD = \Delta OND\\ \Rightarrow MD =ND$
$\Rightarrow \Delta MND$ cân tại $D$
$d)\Delta BEC$ vuông tại $E$, trung tuyến $ED$ bằng nửa cạnh huyền $BC$
$\Rightarrow ED=BD$
$\Rightarrow \Delta EBD$ cân tại $D$
Có $DN$ là đường cao
$\Rightarrow DN$ cũng là trung tuyến
$\Rightarrow N$ là trung điểm $BE$
Chứng minh tương tự, $M$ là trung điểm $CF$
$\Delta OMD = \Delta OND\\ \Rightarrow OM=ON; MD=ND$
$\Rightarrow OD$ là trung trực $MN$
$\Rightarrow OD \perp MN\\ \Leftrightarrow AD \perp MN$
Mà $AD \perp BC$
$\Rightarrow MN//BC$
$\Delta BEC, N$ là trung điểm $BE, MN//BC$
$\Rightarrow MN$ đi qua trung điểm $EC$
Chứng minh tương tự $\Rightarrow MN$ đi qua trung điểm $BF.$
