Đáp án:
`1/{1.\sqrt{2023}}+1/{\sqrt{2}.\sqrt{2022}}+...+1/{\sqrt{2023}.1}> {2023}/{1012}`
Giải thích các bước giải:
Với `a;b>0;a\ne b` ta có:
`\qquad (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2>0`
`=>a-2\sqrt{a}.\sqrt{b}+b>0`
`=>a+b>2\sqrt{a}.\sqrt{b}`
`=>{a+b}/2>\sqrt{a}.\sqrt{b}`
`=>2/{a+b}<1/{\sqrt{a}.\sqrt{b}}`
`=>1/{\sqrt{a}.\sqrt{b}}>2/{a+b}` `(a;b>0)`
Áp dụng công thức trên ta có:
`1/{1.\sqrt{2023}}+1/{\sqrt{2}.\sqrt{2022}}+...+1/{\sqrt{2022}.\sqrt{2}}+1/{\sqrt{2023}.1}`
`>2/{1+2023}+2/{2+2022}+...+2/{2022+2}+2/{2023+1}`
`>\underbrace{2/{2024}+...+2/{2024}}_{2023\ số\ hạng}`
`>2023. 2/{2024}=2023. 1/{1012}={2023}/{1012}`
Vậy `1/{1.\sqrt{2023}}+1/{\sqrt{2}.\sqrt{2022}}+...+1/{\sqrt{2023}.1}> {2023}/{1012}`
