Giải thích các bước giải:
a) $2^{8n}.5^{6n}+1$
$=2^{2n}.2^{6n}.5^{6n}+1$
$=2^{2n}.10^{6n}+1$
$=2^{2n}.(9+1)^{6n}+1$
Theo định lí nhị thức, thì khi tách $(9+1)^{6n}$ thì ta được tất cả các hạng tử đều chia hết cho 9 trừ hạng tử $1^{6n}=1$ nên:
$(9+1)^{6n}=9k+1$
$=> 2^{8n}.5^{6n}+1=2^{2n}.(9k+1)+1=2^{2n}.9k+2^{2n}+1$
Xét $2^{2n}+1$:
$2^{2n}$ là số chính phương nên $2^{2n}$ chia 9 dư 0,1,4 hoặc 7
$=> 2^{2n}+1$ chia 9 dư 1,2,5,8
$=> 2^{2n}+1$ không chia hết cho 9
$=> 2^{8n}.5^{6n}+1$ không chia hết cho 9
$=> 2^{8n}.5^{6n}-1980^n-441^n+1$ không chia hết cho 9 (do $1980^n$ ⋮ 9 và $441^n$ ⋮ 9)
Vậy $2^{8n}.5^{6n}-1980^n-441^n+1$ không chia hết cho 9.
b) Giả sử: $4n^3-6n^2+3n+37 ⋮ 125$
$=> 4n^3-6n^2+3n+37⋮ 5$
$=> 2(4n^3-6n^2+3n+37)⋮ 5$
$=> (2n-1)^3+75⋮ 5$
$=> (2n-1)^3⋮ 5$ (do $75⋮5$)
$=> 2n-1⋮ 5$
$=> (2n-1)^3⋮ 125$
$=> (2n-1)^3+75$ không chia hết cho $125$ (do 75 không chia hết cho 125)
$=> 8n^3-12n^2+6n+74$ không chia hết cho $125$
$=> 2(4n^3-6n^2+3n+37)$ không chia hết cho $125$
$=> 4n^3-6n^2+3n+37$ không chia hết cho $125$ (vô lí)
Vậy $4n^3-6n^2+3n+37$ không chia hết cho $125$
c)
Xét n=3k thì:
$4^n+15n-1=4^{3k}+15.3k-1=2^{6k}+45k-1=8^{2k}+45k-1=(9-1)^{2k}+45k-1$
Theo định lí nhị phân thì khi tách $(9-1)^{2k}$ thì ta được tất cả hạng tử đều chia hết cho 9 trừ hạng tử $(-1)^{2k}=1$ nên:
$(9-1)^{2k}$ chia 9 dư 1
=> $(9-1)^{2k}-1⋮9$
=> $(9-1)^{2k}+45k-1⋮9$
=> $4^{3k}+45k-1⋮9$
Xét n=3k+1 thì:
$4^n+15n-1$
$=4^{3k+1}+15.(3k+1)-1$
$=4.4^{3k}+45k+15-1$
$=4(4^{3k}+45k-1)-3.45k+15+3$
$=4(4^{3k}+45k-1)-3.45k+18$ chia hết cho 9 (do $4^{3k}+45k-1⋮9$)
Xét n=3k+2 thì:
$4^n+15n-1$
$=4^{3k+2}+15.(3k+2)-1$
$=4^2.4^{3k}+45k+30-1$
$=16(4^{3k}+45k-1)-15.45k+30+15$
$=16(4^{3k}+45k-1)-15.45k+45$ chia hết cho 9 (do $4^{3k}+45k-1⋮9$)
Vậy $4^n+15n-1⋮9$
