Đây là bất đẳng thức quen thuộc đề như nhé nhá
Sửa đề với x,y,z≥1
Áp dụng bất đẳng thức AM-Gm cho các số x,y,z dương ta có
$\frac{x³}{y}$+$\frac{x³}{y}$+y²≥3.$\sqrt[3]{\frac{x³}{y}.\frac{x³}{y}.y²}$ =3.x²(1)
Chứng minh tưởng tự
$\frac{y³}{z}$+$\frac{y³}{z}$+z²≥3.y²(2)
$\frac{z³}{x}$+$\frac{z³}{x}$+x²≥3.x²(3)
Từ (1);(2);(3)
⇒2($\frac{x³}{y}$+$\frac{y³}{z}$+$\frac{z³}{x}$)+(x²+y²+z²)≥3.(x²+y²+z²)
⇔2($\frac{x³}{y}$+$\frac{y³}{z}$+$\frac{z³}{x}$)≥2.(x²+y²+z²)
⇔$\frac{x³}{y}$+$\frac{y³}{z}$+$\frac{z³}{x}$)≥x²+y²+z²
Vì x,y,z≥1 nên x²,y²,z²≥x,y,z
Suy ra
x²+y²+z²≥x+y+z
Suy ra dpcm
