Đáp án:
`P=-1` khi `a+b+c=0` hoặc `P=8` khi `a+b+c \ne 0`
Giải thích các bước giải:
Do `a,b,c \ne 0`
Nên ta sẽ xét 2 trường hợp : \(\left[ \begin{array}{l}a+b+c =0\\a+b+c \ne 0\end{array} \right.\)
$\bullet$ Trường hợp : `a+b+c =0`
`->` $\begin{cases} a+b=0-c\\a+c=0-b\\b+c=0-a \end{cases}$
`->` $\begin{cases} a+b=-c\\a+c=-b\\b+c=-a\end{cases}$
`P = (1+a/b) (1+b/c) (1+c/a)`
`-> P = (b/b+a/b) (c/c+b/c) (a/a+c/a)`
`-> P = (a+b)/b . (b+c)/c . (a+c)/a`
`-> P = (-c)/b . (-a)/c . (-b)/a`
`-> P = - (abc)/(abc)`
`-> P=-1`
$\bullet$ Trường hợp : `a + b+c \ne 0`
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau có :
`(b+c-a)/a=(a+c-b)/b=(a+b-c)/c=(b+c-a+a+c-b+a+b-c)/(a+b+c) = ( (b-b+b) + (c+c-c) + (-a+a+a) )/(a+b+c) = (a+b+c)/(a+b+c)=1`
`-> (b+c-a)/a=1 ->b+c-a=a->b+c=2a`
và `(a+c-b)/b=1->a+c-b=b->a+c=2b`
và `(a+b-c)/c=1->a+b-c=c->a+b=2c`
Có : $\begin{cases} a+b=2c\\a+c=2b\\b+c=2a \end{cases}$ (cmt)
`->` $\begin{cases} a+b+c=2c+c\\a+b+c=2b+b\\a+b=c=2a+a \end{cases}$
`->` $\begin{cases} a+b+c=3c\\a+b+c=3b\\a+b+c=3a \end{cases}$
Từ đó `->3a=3b=3c`
`-> a=b=c`
`P = (1+a/b) (1+b/c) (1+c/a)`
`-> P = (1+a/a) (1+b/b) (1+c/c)`
`-> P = (1+1) (1+1) (1+1)`
`-> P = 2 . 2 . 2`
`-> P =8`
Vậy `P=-1` khi `a+b+c=0` hoặc `P=8` khi `a+b+c \ne 0`
