$\begin{array}{l} \cos 2x + \left( {2m + 1} \right)\sin x - m - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 1 - 2{\sin ^2}x + \left( {2m + 1} \right)\sin x - m - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x - \left( {2m + 1} \right)\sin x + m = 0\\ \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x - \sin x - 2m\sin x + m = 0\\ \Leftrightarrow \sin x\left( {2\sin x - 1} \right) - m\left( {2\sin x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {\sin x - m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = \dfrac{1}{2}\\ \sin x = m \end{array} \right. \end{array}$
$\begin{array}{l} x \in \left( { - \dfrac{\pi }{2};\pi } \right) \Rightarrow - 1 < \sin x < 1\\ \Rightarrow \sin x = \dfrac{1}{2}(TM) \end{array}$
Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi $m$
Vậy $m\in \mathbb{Z}\to B$
