Giả sử a2+1a2+1 và b2+1b2+1 cùng chia hết cho số nguyên tố p
⇒a2−b2⋮p⇒a2−b2⋮p
⇒(a−b)(a+b)⋮p⇒⎡a−b⋮pa+b⋮p⇒
+) Nếu a−b⋮pa−b⋮p thì ta có (a2+1)(b2+1)−(a−b)2⋮p⇒(ab+1)2⋮p⇒ab+1⋮p(a2+1)(b2+1)−(a−b)2⋮p⇒(ab+1)2⋮p⇒ab+1⋮p (vô lí do (a - b, ab + 1) = 1)
+) Nếu a+b⋮pa+b⋮p thì tương tự ta có ab−1⋮pab−1⋮p. (vô lí)
Do đó (a2+1,b2+1)=1(a2+1,b2+1)=1.
Giả sử (a+b)2+(ab−1)2=c2(a+b)2+(ab−1)2=c2 với c∈N∗c∈N∗
Khi đó ta có (a2+1)(b2+1)=c2
Mà (a2+1,b2+1)=1(a2+1,b2+1)=1 nên theo bổ đề về số chính phương, ta có a2+1a2+1 và b2+1b2+1 là các số chính phương.
Đặt a2+1=d2(d∈N∗)⇒(d−a)(d+a)=1⇒d=1;a=0a2+1=d2(d∈N∗)⇒(d−a)(d+a)=1⇒d=1;a=0, vô lí.
Vậy ....
