Đáp án:
`7` giá trị m
Giải thích các bước giải:
Ta có:
`3-4sin^2x=3-4(1-cos^2x)=4cos^2x-1=(2cosx+1)(2cosx-1)`
`(2cosx-1)(2cos2x+2cosx-m)=3-4sin^2x`
`<=>(2cosx-1)(2cos2x+2cosx-m)=(2cosx+1)(2cosx-1)`
`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}2\cos x-1=0\\2\cos 2x+2\cos x-m=2\cos x+1\end{array} \right.\)
`<=> `\(\left[ \begin{array}{l}\cos x=\dfrac{1}{2}\\2\cos 2x=m+1\end{array} \right.\)
`<=> `\(\left[ \begin{array}{l}\cos x=\dfrac{1}{2}&(1)\\\cos 2x=\dfrac{m+1}{2}&(2)\end{array} \right.\)
Xét `(1): cosx=1/2`
`<=>x=+-pi/3+k2pi`
`(1)` có 2 nghiệm `x=+-pi/3in[-pi/2;pi/2]`
Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm `x in[-pi/2;pi/2]` thì phương trình `(2)` vô nghiệm hoặc có nghiệm `x=+-pi/3`
TH1: `(2)` vô nghiệm:
Do `x in [-pi/2;pi/2]=>2x in[-pi;pi]``<=>(2)` vô nghiệm `<=> | (m+1)/2|>1`
`<=> | m+1|>2<=>`\(\left[ \begin{array}{l}m+1>2\\m+1<-2\end{array} \right.\) `<=>`\(\left[ \begin{array}{l}m>1\\m<-3\end{array} \right.\)
TH2: `(2)` có nghiệm `x=+-pi/3`:
Thay `x=+-pi/3=>cos(+-(2pi)/3)=(m+1)/2`
`<=>-1/2=(m+1)/2<=>m=-2`
Từ 2 trường hợp ta có: \(\left[ \begin{array}{l}m=-2\\m∈(-\infty;-3)∪(1;+\infty)\end{array} \right.\)
Yêu cầu bài toán: `{(m inZZ^-),(m> -10):}`
`=>m in{-9;-8;-7;-6;-5;-4;-2}`
Vậy có 7 giá trị m thỏa mãn.
