$\\$
`a,`
Xét `ΔAFB` và `ΔAFE` có :
`hat{AFB}=hat{AFE}=90^o` (gt)
`AF` chung
`AB=AE` (gt)
`-> ΔAFB = ΔAFE` (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
`-> BF =EF` (2 cạnh tương ứng)
Xét `ΔBFM` và `ΔEFM` có :
`hat{BFM}=hat{EFM}=90^o` (gt)
`BF=EF` (cmt)
`FM` chung
`-> ΔBFM = ΔEFM` (cạnh - góc - cạnh)
`-> BM=EM` (2 cạnh tương ứng)
$\\$
`b,`
Xét `ΔABM` và `ΔAEM` có :
`AB=AE` (gt)
`AM` chung
`BM=EM` (cmt)
`-> ΔABM = ΔAEM` (cạnh - cạnh - cạnh)
`-> hat{ABM}=hat{AEM}` (2 góc tương ứng)
Có : `hat{ABM}+hat{IBM}=180^o` (2 góc kề bù)
Có : `hat{AEM}+hat{CEM}=180^o` (2 góc kề bù)
mà `hat{ABM}=hat{AEM}` (cmt)
`->hat{IBM}=hat{CEM}`
Xét `ΔMBI` và `ΔMEC` có :
`hat{IBM}=hat{CEM}` (cmt)
`BM=EM` (cmt)
`hat{BMI}=hat{EMC}` (2 góc đối đỉnh)
`-> ΔMBI = ΔMEC` (góc - cạnh - góc)
$\\$
`c,`
Có : `hat{ABM}=hat{AEM}` (cmt)
hay `hat{ABC}=hat{AEM}`
Có : `hat{AEM}+hat{MEC}=180^o` (2 góc kề bù)
mà `hat{ABC}=hat{AEM}` (cmt)
`-> hat{ABC}+hat{MEC}=180^o`
`-> hat{MEC}=180^o - hat{ABC}`
Áp dụng định lí tổng 3 góc `Δ` cho `ΔABC` có :
`hat{ABC}+hat{A}+hat{ACB}=180^o`
`-> hat{ACB} + hat{A}=180^o - hat{ABC}`
`-> hat{MCE}+hat{A}=180^o-hat{ABC}`
mà `hat{MEC}=180^o - hat{ABC}`
`-> hat{MCE}+hat{A}=hat{MEC}`
`-> hat{MEC} > hat{MCE}`
Xét `ΔEMC` có :
`hat{MEC}>hat{MCE}`
Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :
`MC > ME`
mà `ME=MB` (cmt)
`-> MC > MB`
$\\$
`d,`
Giả sử `ΔABC` có : `AB = 1/2 AC`
Có : `AB=1/2 AC` (giả sử)
mà `AB=AE` (gt)
`-> AE = 1/2 AC`
`-> E` là trung điểm của `AC`
`->IE` là đường trung tuyến của `ΔAIC`
Do `ΔMBI =ΔMEC` (cmt)
`-> BI=EC` (2 cạnh tương ứng)
Có : `AB+ BI = AI`
Có : `AE + EC = AC`
`AB=AE` (gt) và `BI=EC` (cmt)
`-> AI=AC`
mà `AB = 1/2 AC` (giả sử)
`-> AB = 1/2 AI`
`-> B` là trung điểm của `AI`
`-> CB` là đường trung tuyến của `ΔAIC`
Xét `ΔAIC` có :
`IE` là đường trung tuyến (cmt)
`CB` là đường trung tuyến
`IE` cắt `CB` tại `M`
`-> M` là trọng tâm của `ΔAIC`
Vậy để `M` là trọng tâm của `ΔAIC` thì `ΔABC` cần `AB = 1/2 AC`
