Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2{m^2}{x^2} + 2m\) có ba điểm cực trị sao cho là các đỉnh O, A, B, C của một hình thoi (với O là gốc tọa độ). A.\(m=3\) B.\(m=1\) C.\(m=-1\) D.\(m=2\)
Đáp án đúng: B Cách giải nhanh bài tập này\(y' = 4{x^3} - 4{m^2}x = 4x\left( {{x^2} - {m^2}} \right)\) Để đồ thị có 3 điểm cực trị thì m > 0. Khi đó ta có: \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_A} = 0\\{x_B} = m\ {x_C} = - m\end{array} \right.\) \( \Rightarrow A\left( {0,2m} \right);\,\,B\left( {m, - {m^4} + 2m} \right);\,\,C\left( { - m, - {m^4} + 2m} \right)\) Dễ nhận thấy B và C đối xứng nhau qua trục hoành nên \(OA \bot BC\) \(\begin{array}{l}OA = \sqrt {{{\left( {2m} \right)}^2}} = 2m\\OC = \sqrt {{{\left( m \right)}^2} + {{\left( { - {m^4} + 2m} \right)}^2}} ,BC = \sqrt {{{\left( {2m} \right)}^2}} = 2m\end{array}\) Giải: OA = OC suy ra m = 1 Thay vào phương trình OA = OC với m = 1 ta thấy thỏa mãn. Chọn B.