Đáp án:
`S_{AEPSN}=6cm^2;S_{PQRS}=8cm^2`
Giải thích các bước giải:
Các điểm $E, F, G, H, K, L, M, N$ chia mỗi cạnh hình vuông $ABCD$ có độ dài bằng $6cm$ thành ba đoạn thẳng bằng nhau
`=>AE=EF=FB=BG=GH=HC=CK=KL=LD=DM=MN=NA=6:3=2cm`
`=>AF=AM=DN=DK=BE=BH=4cm`
$\\$
Xét $∆AMF$ vuông tại $A$ có `AM=AF=4cm`
`=>∆AMF` vuông cân tại $A$
`=>\hat{AMF}=45°=>\hat{NMS}=45°` $(1)$
$\\$
Xét $∆DNK$ vuông tại $D$ có `DN=DK=4cm`
`=>∆DNK` vuông cân tại $D$
`=>\hat{DNK}=45°=>\hat{MNS}=45°` $(2)$
$\\$
Từ `(1);(2)=>∆MNS` cân tại $S$
`\qquad \hat{MSN}=180°-(45°+45°)=90°`
`=>∆MNS` vuông cân tại $S$ `=>MS=NS`
`=>MS^2+NS^2=MN^2` (định lý Pytago)
`=>2MS^2=2^2=>MS^2=2`
`=>NS=MS=\sqrt{2}cm`
`=>S_{∆MNS}=1/ 2MS.NS=1/ 2 .\sqrt{2}.\sqrt{2}=1(cm^2)`
$\\$
Chứng minh tương tự ta có: `S_{∆EFP}=1(cm^2)`
`S_{∆AMF}=1/ 2 AM.AF=1/ 2 .4.4=8(cm^2)`
`S_{AEPSN}=S_{∆AMF}-(S_{∆MNS}+S_{∆EFP})=8-(1+1)=6(cm^2)`
$\\$
`S_{ABCD}=6.6=36(cm^2)`
`S_{∆BEH}=1/ 2 BE.BH=1/ 2 .4 .4=8(cm^2)`
`S_{∆DNK}=1/ 2 DN.DK=1/ 2 .4.4=8(cm^2)`
`S_{AEHCKN}=S_{ABCD}-(S_{∆BEH}+S_{∆DNK})=36-(8+8)=20(cm^2)`
Chứng minh tương tự ta có: `S_{CKRQH}=6cm^2`
`S_{PQRS}=S_{AEHCKN}-(S_ {AEPSN}+S_{CKRQH})=20-(6+6)=8(cm^2)`
Vậy: `S_{AEPSN}=6cm^2;S_{PQRS}=8cm^2`
