Xét tứ giác $ADHE$ có:
`\hat{DAE}=\hat{ADH}=\hat{AEH}=90°`
`=>ADHE` là hình chữ nhật
`=>S_{ADHE}=AD.DH`
$\\$
Xét $∆ADH$ vuông tại $D$
`=>AH^2=AD^2+DH^2` (định lý Pytago)
$\\$
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
`\qquad AD^2+DH^2\ge 2\sqrt{AD^2 .DH^2}`
`=>AH^2\ge 2AD.DH`
`=>AD.DH\le {AH^2}/2`
`=>S_{ADHE}\le {AH^2}/2`
Dấu "=" xảy ra khi `AD=DH`
`=>∆ADH` cân tại $D$
Mà $∆ADH$ vuông tại $D$
`=>∆ADH` vuông cân tại $D$
`=>\hat{DAH}=45°=1/ 2 \hat{BAC}`
`=>AH` vừa là phân giác và đường cao $∆ABC$
`=>∆ABC` vuông cân tại $A$
`=>AH` là trung tuyến $∆ABC$
`=>AH={BC}/2=>{AH^2}/2={BC^2}/8`
Vậy $GTLN$ của $S_{ADHE}$ bằng `{BC^2}/8` khi `∆ABC` vuông cân tại $A$
