Đáp án: Với ∀ (x; y) ∈ Z thỏa mãn x + y = 0
hoặc (x; y) = (0; 0); ( 0; 1); ( 2; 1); ( 2; 1); ( 1; 2); (1; 0)
Giải thích các bước giải: Áp dụng (x + y)³ = x³ + y³ + 3xy×(x+y)
⇔ ( x + y )³ - 3xy×( x + y ) = ( x + y )²
⇔ ( x + y )×( (x + y)² - 3xy - x - y ) = 0
⇔ (x+ y)×( x² + y² - xy - x - y) = 0
TH1 x+y = 0 ⇔ x = -y thay vào biểu thức ban đầu ta được
(-y)³ + y³ = ( -y + y)² ⇔ 0 = 0 ( luôn đúng )
⇒ ∀ x, y ∈ Z thỏa mãn x + y = 0
TH2 x² + y² - xy - x - y = 0
Nhân cả 2 vế với 2 ta được
2x² + 2y² - 2xy -2x -2y = 0
⇔ ( x - y )² + ( x - 1 )² + ( y - 1 )² = 2 (*)
Vì x; y ∈ Z nên (x -y)²; (x -1)²; (y - 1)² là các số chính phương nhỏ hơn 2
⇔ (x -y)²; (x -1)²; (y - 1)² ∈ { 0; 1 }
TH1 (x - 1)² = 0 ⇔ x =1 thay vào biểu thức (*) được
(1 - y)² + (y - 1)² = 2
⇔ (y - 1)² = 1 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}y=2\\x=0\end{array} \right.\)
TH2 (x - 1)² = 1 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x=2\\x=0\end{array} \right.\)
Thay x = 2 vào (*) được (2 - y)² + 1 + (y - 1)² = 2
⇔ 2y² - 6y +4 = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}y=2\\y=1\end{array} \right.\)
Thay x = 0 vào (*) được y² + 1 + (y - 1)² = 2
⇔ 2y² - 2y = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}y=0\\y=1\end{array} \right.\)
