`a)` `O` tâm đường tròn đường kính $AB$
`=>O` là trung điểm $AB$
`=>CO` là trung tuyến $∆ABC$
Mà `CO=AO=BO=R=1/ 2AB`
`=>∆ABC` vuông tại $C$ (∆ có trung tuyến bằng nửa cạnh đối diện là ∆ vuông)
`=>BC`$\perp AC$
Mà $OH\perp AC$ (gt)
`=>OH`//$BC$
$\\$
Xét $∆ABC$ có:
`\qquad OH`//$BC$
`\qquad O` là trung điểm $AB$
`=>H` là trung điểm $AC$ ($OH$ là đường trung bình $∆ABC$)
`=>HA=HC` (đpcm)
$\\$
`b)` $∆OAC$ có $OA=OC=R$
`=>∆OAC` cân tại $O$
`=>OH` vừa là đường cao và phân giác
`=>OH` là phân giác `\hat{AOC}`
`=>\hat{DOC}=\hat{DOA}`
$\\$
Xét $∆DOC$ và $∆DOA$ có:
`\qquad OD` là cạnh chung
`\qquad \hat{DOC}=\hat{DOA}` (c/m trên)
`\qquad OC=OA`
`=>∆DOC=∆DOA` (c-g-c)
`=>\hat{DCO}=\hat{DAO}`
Mà `\hat{DAO}=90°` (do $DA$ là tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$)
`=>\hat{DCO}=90°`
`=>DC`$\perp OC$
`=>DC` là tiếp tuyến tại $C$ của $(O)$ (đpcm)
$\\$
`c)` `O` là trung điểm $AB$
`=>EO` là trung tuyến $∆EAB$
Mà `EO=AO=BO=R=1/ 2AB`
`=>∆EAB` vuông tại $E$ (∆ có trung tuyến bằng nửa cạnh đối diện là ∆ vuông)
`=>AE`$\perp DB$ tại $E$
$\\$
Xét $∆ADB$ vuông tại $A$ đường cao $AE$
`=>AD^2=DE.DB` (hệ thức lượng) $(1)$
$\\$
Xét $∆ADO$ vuông tại $A$ có $AH\perp DO$
`=>AD^2=DH.DO` (hệ thức lượng) $(2)$
$\\$
Từ `(1);(2)=>DH.DO=DE.DB` (đpcm)
`=>{DH}/{DB}={DE}/{DO}`
$\\$
Xét $∆DHE$ và $∆DBO$ có:
`\qquad \hat{D}` chung
`\qquad {DH}/{DB}={DE}/{DO}`
`=>∆DHE∽∆DBO` (c-g-c)
`=>\hat{DHE}=\hat{DBO}`
`=>\hat{DHE}=\hat{DBA}` (đpcm)
$\\$
`d)` Gọi $P$ là giao điểm của $AM$ và $OD$
Vì $OH$//$BC$ (câu a)
`=>HP`//$CM$
Xét $∆AMC$ có:
$\quad HP$//$CM$
`\qquad H` là trung điểm $AC$
`=>P` là trung điểm $AM$ ($PE$ là đường trung bình $∆AMF$) `=>{AP}/{AM}=1/2`
Mà ` E` là trung điểm $AF$ (gt)
`=>PE` là đường trung bình $∆AMF$
`=>PE`//$MF$; `PE=1/2 MF` $(3)$
$\\$
Gọi $Q$ là giao điểm của $EP$ và $KA$
Xét $∆AMK$ có $PQ$//$MK$ (do $PE$//$MF$)
`=>{PQ}/{MK}={AP}/{AM}=1/ 2` (hệ quả định lý Talet)
`=>PQ=1/ 2 MK` $(4)$
$\\$
Vì $FK\perp KA; AB\perp KA$
`=>FK`//$AB$`=>MF`//$AB$
Mà $PE$//$MF$
`=>PE`//$OB; PQ$//$OA$
$\\$
Xét $∆DAO$ có $PQ$//$OA$
`=>{PQ}/{OA}={DP}/{DO}` (hệ quả định lý Talet)
Xét $∆DBO$ có $PE$//$OB$
`=>{PE}/{OB}={DP}/{DO}` (hệ quả định lý Talet)
$\\$
`=>{PQ}/{OA}={PE}/{OB}`
Mà `OA=OB=R`
`=>PQ=PE` $(5)$
$\\$
Từ `(3);(4);(5)=>1/2 MK=1/ 2 MF`
`=>MK=MF` (đpcm)
