$\\$
`a,`
Có : `BN` là đường trung tuyến (gt)
`-> N` là trung điểm của `AC`
Có : `CM` là đường trung tuyến (gt)
`-> M` là trung điểm của `AB`
Có : `CN = 1/2 AC` (Do `N` là trung điểm của `AC`)
Có : `BM = 1/2 AC` (Do `M` là trung điểm của `AB`)
mà `AB=AC` (Do `ΔABC` cân tại `A`) `-> 1/2 AB = 1/2 AC`
`-> CN =BM`
Xét `ΔMBC` và `ΔNCB` có :
`hat{B}=hat{C}` (Do `ΔABC` cân tại `a`)
`BC` chung
`BM=CN` (cmt)
`-> ΔMBC = ΔNCB` (cạnh - góc - cạnh)
$\\$
`b,`
Do `ΔMBC = ΔNCB` (cmt)
`-> hat{MCB}=hat{NBC}` (2 góc tương ứng)
hay `hat{ICB}=hat{IBC}`
`-> ΔIBC` cân tại `I`
$\\$
`c,`
Xét `ΔABC` có :
`CM` là đường trung tuyến (gt)
`BN` là đường trung tuyến (gt)
`CM` cắt `BN` tại `I`
`-> I` là trọng tâm của `ΔABC`
Có : `K` là trung điểm của `BC` (gt)
`-> AK` là đường trung tuyến của `ΔABC`
mà `I` là trọng tâm của `ΔABC` (cmt)
`-> AK` đi qua `I`
`-> A,I,K` thẳng hàng
$\\$
`d,`
Có : `AM = 1/2 AB` (Do `M` là trung điểm của `AB`)
Có : `AN = 1/2 AC` (Do `N` là trung điểm của `AC`)
mà `AB=AC` (Do `ΔABC` cân tại `A`) `-> 1/2 AB = 1/2 AC`
`-> AM=AN`
`-> ΔAMN` cân tại `A`
`-> hat{AMN}=(180^o - hat{A})/2` (*)
Do `ΔABC` cân tại `A` (gt)
`-> hat{ABC}=(180^o - hat{A})/2` (**)
Từ (*), (**)
`-> hat{AMN}=hat{ABC} (=(180^o - hat{A})/2)`
mà 2 góc này ở vị trí đồng vị
$→ MN//BC$
