1,

$\Delta AME$ và $\Delta CMB$ có:

$\widehat{AME}=\widehat{CMB}=90^o\\AM=CM\\ME=BM$

$\to\Delta AME=\Delta CMB$ (c.g.c)

$\to AE=BC$

2,

$\Delta AME=\Delta CMB\\\to \widehat{EAM}=\widehat{BCM}\\\widehat{EAM}+\widehat{AEM}=90^o\\\to \widehat{KCE}+\widehat{CEK}=90^o\\\to AK\bot BC$

3,

Gọi $H=AC∩DM, Q=MF∩BE$

$\to AC=DM, ME=BE$

$H$ là trung điểm $AC,DM$

$Q$ là trung điểm $MF,BE$

$\Delta EKB$ vuông tại $K$ có $KQ$ là đường trung tuyến.

$\to KQ=\dfrac{BE}{2}=\dfrac{MF}{2}$

$\Delta MKF$ có: $KQ$ là đường trung tuyến, $KQ=\dfrac{MF}{2}$

$\to \Delta MKF$ vuông tại $K$

$\to \widehat{MKF}=90^o$

Tương tự: $\widehat{DKM}=90^o$

$\to \widehat{DKF}=90^o . 2=180^o$

$\to D,K,F$ thẳng hàng.

4,

Gọi $N=DK∩ AC\to D,N,K,F$ thẳng hàng.

$\Delta ACB$ có: $AK,CM$ là đường cao, $E=AK∩CM$

$\to E$ là trực tâm.

$\to BN\bot AC$ mà $MF\bot BN$

$\to AC//MF$ hay $HN//MF$ mà $H$ là trung điểm $DM$

$\to N$ là trung điểm $DF$

Kẻ $NU\bot AB(U\in AB)\to NU//AD//BF$

Hình thang $ADFB(AD//BF)$ có:

$NU//AD//BF, N$ là trung điểm $DF\to U$ là trung điểm $AB$

Hình thang $ADFB(AD//BF)$ có:

$N,U$ là trung điểm $DF,AB$

$\to NU$ là đường trung bình.

$\to NU=\dfrac{AD+BF}{2}=\dfrac{AM+BM}{2}=\dfrac{AB}{2}$(Cố định).

$\to N$ cố định.

$\to DF$ đi qua $N$ cố định khi $M$ thay đổi.

5,

$S_{AMCD}+S_{BMEF}=AM^2+BM^2\\\ge \dfrac{1}{2}(AM+BM)^2=\dfrac{1}{2}AB^2$ (Cố định).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

$AM=BM\to M$ là trung điểm $AB$

6,

$\Delta DMF$ có: $N,H$ là trung điểm $DF,DM$

$\to HN$ là đường trung bình.

$\to HN=\dfrac{1}{2}MF=MQ$ mà $HN//MQ$

$\to HNQM$ là hình bình hành.

$\to MN,HQ$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Mà $O$ là trung điểm $HQ$

$\to O$ là trung điểm $MN$

$\to O$ di chuyển trên đường trung trực của $AB$(Cố định).

Đáp án+Giải thích các bước giải:

 $1)$ Xét $ΔAME$ và $ΔCMB$ ,Có:

$AM=CM(AMCD $ là hvg $)$

$∠AME=∠CMB(=90)$

$EM=MB(EFBM $ là hvg $)$

$⇒ΔAME=ΔCMB(c-g-c)$

$⇒AE=BC $ và $∠AEM=∠ABK$

$2)$ Xét $Δ AEM$ vg tại $M$, Có:

$∠EAM+∠AEM=90$

Mà $∠AEM=∠ABK$ ( cmt )

$⇒∠EAM+∠ABK=90$

$⇔∠AKB=90$

$⇔AK⊥BC$

$3)$ Gọi $I$ là giao của $DF$ và $EM$

Ta có : $\left \{ {{∠DKA=180-∠DAK-∠ADK} \atop {∠EKI=180-∠KEI-∠KIE}} \right.$ 

Mà $\left \{ {{∠DAK=∠IEK(AD//EI)} \atop {∠ADK=∠KIE(AD//EI)}} \right.$ 

$⇒∠DKA=∠EKI$

Mà $∠EKI+∠AKI=∠EKA=180$

$⇒∠DKA+∠AKI=180=∠DKI$

$⇒D,K,I$ thẳng hàng hay $ D,K,F$ thẳng hàng

$4)$ Kẻ đường trung trực $NG$ trên $AB$ cắt $DF$ tại $N$ :$G∈AB$

Xét hình thang $ABFD(AD//BF)$ , Có : 

$G$ là trung điểm $AB$ (gt)

$GN//AD//BF$ ( vì $⊥AB$)

$⇒ GN$ là đường trung bình hình thang $ABFD$

$⇒ND=NF$

$⇒NG=\dfrac{BF+AD}{2}$

Mà $AD=AM$ ( ADCM là hvg ); $BF=BM$ ( BFEM là hvg )

$⇒NG=\dfrac{BF+AD}{2}=\dfrac{AM+BM}{2}=\dfrac{AB}{2}$

$⇒ DF$ luôn đi qua điểm cố định $N/NG=\dfrac{AB}{2}$

$5)$ Ta có : $S_{AMCD} +S_{BMEF}$ 

$=AM^2+BM^2$

$=(AB-BM)^2+BM^2$

$=AB^2-2AB.BM+BM^2+BM^2$

$=2(BM^2-AB.BM+AB^2\dfrac{1}{4}-AB^2\dfrac{1}{4}+AB^2\dfrac{1}{2})$

$=2(BM-AB\dfrac{1}{2})^2+AB^2\dfrac{1}{2}≥AB^2\dfrac{1}{2}$

Dấu $"="$ xảy ra $⇔ (BM-AB\dfrac{1}{2})^2=0$

$⇔ BM=AB\dfrac{1}{2}$

Hay $M$ là trung điểm $AB$

$6)$ Gọi $J$ là giao của $MN$ và $HQ$

Dễ dàng CM được : $∠DMF = 90 ;HQ//DF$ ( Theo ĐL Ta-lét )

$→MN=DN ; MO=OH $ ( Theo ĐL đường trung tuyến $Δ$ vuông )

$→\dfrac{MO}{MN}=\dfrac{MH}{MD}$

Áp dụng Hệ Quả ĐL Ta- Lét vào $Δ DMN $ , Có $DN//HJ$

$→\dfrac{MJ}{MN}=\dfrac{HJ}{DN}=\dfrac{MH}{MD}=\dfrac{1}{2}$

CMTT $→\dfrac{QJ}{NF}=\dfrac{1}{2}$

Mà $DN=NF$

$→HJ=JQ$

Mà $J$ nằm giữa $HQ$

$→ J$ là trung điểm $HQ$ hay $O$ trùng $J$

Mà $\dfrac{MJ}{MN}=\dfrac{1}{2}$

$→O$ là trung điểm $MN$

Từ đây dễ dàng CM được $O$ nằm trên đường trung trực của cạnh $GN$ cố dịnh theo ĐL Ta-Let

( mk nghĩ chắc bạn học ĐL Ta-Lét rồi )