Gọi `(O;R)` là đường tròn nội tiếp $∆ABC$
Vẽ $BM;CN\perp EF$ lần lượt tại $M;N$
`=>BM`//$DH$//$CN$
`=>{CD}/{BD}={NH}/{MH}` $(1)$
$\\$
Vì $O$ là tâm đường tròn nội tiếp $∆ABC$
`=>O` là giao điểm ba đường phân giác trong của $∆ABC$
`=>AO` là phân giác của `\hat{EAF}`
`=>\hat{EAO}=\hat{FAO}`
$E;F$ là các tiếp điểm
`=>\hat{AEO}=\hat{AFO}=90°`
Xét $∆AEO$ và $∆AFO$ có:
`\qquad \hat{AEO}=\hat{AFO}=90°`
`\qquad AO` là cạnh chung
`\qquad \hat{EAO}=\hat{FAO}`
`=>∆AEO=∆FAO` (cạnh huyền -góc nhọn)
`=>AE=AF`
`=>∆AEF` cân tại $A$
`=>\hat{AEF}=\hat{AFE}`
Mà `\hat{CEN}=\hat{AEF}` (hai góc đối đỉnh)
`\qquad \hat{BFM}=\hat{AFE}` (hai góc đối đỉnh)
`=>\hat{CEN}=\hat{BFM}`
$\\$
Tương tự ta có: `CE=CD;BF=BD`
$\\$
Xét $∆CEN$ và $∆BFM$ có:
`\qquad \hat{CNE}=\hat{BMF}=90°`
`\qquad hat{CEN}=\hat{BFM}`
`=>∆CEN∽∆BFM` (g-g)
`=>{CN}/{BM}={CE}/{BF}={CD}/{BD}` $(2)$
Từ `(1);(2)=>{CN}/{BM}={NH}/{MH}`
Xét $∆CNH$ và $∆BMH$ có:
`\qquad \hat{CNH}=\hat{BMH}=90°`
`\qquad {CN}/{BM}={NH}/{MH}`
`=>∆CNH∽∆BMH` (c-g-c)
`=>\hat{CHN}=\hat{BHM}`
`=>90°-\hat{CHN}=90°-\hat{BHM}`
`=>\hat{CHD}=\hat{BHD}`
Mà tia $HD$ nằm giữa hai tia $HB$ và $HC$
`=>HD` là tia phân giác của `\hat{BHC}` (đpcm)
