Đáp án:
$M_{min}=2$ khi `x=1;y=7`
Giải thích các bước giải:
Vì `x\ge 1/2=>2x\ge 1=>2x-1\ge 0`
`\qquad y\ge 3/4=>4y\ge 3=>4y-3\ge 0`
Ta có:
`M=x+2y-\sqrt{2x-1}-5\sqrt{4y-3}+13`
`=1/ 2 (2x-1)-\sqrt{2x-1}+1/2+1/2(4y-3)-5\sqrt{4y-3}+{25}/2-{25}/2+3/2+13`
`=1/2 (2x-1-2\sqrt{2x-1}+1)+1/2(4y-3-10\sqrt{4y-3}+25)+2`
`=1/2(\sqrt{2x-1}-1)^2+1/2(\sqrt{4y-3}-5)^2+2`
Với mọi `x\ge 1/2; y\ge 3/4` ta có:
`\qquad `$\begin{cases}(\sqrt{2x-1}-1)^2\ge 0\\(\sqrt{4y-3}-5)^2\ge 0\end{cases}$
`=>1/2(\sqrt{2x-1}-1)^2+1/2(\sqrt{4y-3}-5)^2+2`
`\ge 1/ 2 .0+1/ 2 . 0+2=2`
Dấu "=" xảy ra khi:
`\qquad `$\begin{cases}(\sqrt{2x-1}-1)^2= 0\\(\sqrt{4y-3}-5)^2= 0\end{cases}$`<=>`$\begin{cases}\sqrt{2x-1}=1\\\sqrt{4y-3}=5\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}2x-1=1\\4y-3=25\end{cases}$`<=>`$\begin{cases}2x=2\\4y=28\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}x=1\\y=7\end{cases}$(thỏa mãn)
Vậy $GTNN$ của $M$ bằng `2` khi `x=1;y=7`
