`a)` Ta có:
`\qquad \hat{ACB}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
`=>\hat{MCN}=90°`
$\\$
Vì $AH\perp OD$ tại $H$ (gt)
`=>AE`$\perp OD$ $\quad (1)$
`=>\hat{DHN}=90°`
`=>\hat{MCN}+\hat{DHN}=90°+90°=180°`
Mà `\hat{MCN};\hat{DHN}` ở vị trí đối nhau
`=>MCNH` nội tiếp (đpcm)
$\\$
`b)` Ta có:
`\hat{AEB}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
`=>AE`$\perp BE$ $\quad (2)$
Từ `(1);(2)=>OD`//$BE$
`=>\hat{CDK}=\hat{CBE}` (hai góc so le trong)
$\\$
Xét $∆CDK$ và $∆CBE$ có:
`\qquad \hat{CDK}=\hat{CBE}` (c/m trên)
`\qquad CD=CB` (gt)
`\qquad \hat{DCK}=\hat{BCE}` (hai góc đối đỉnh)
`=>∆CDK=∆CBE` (g-c-g)
`=>CK=CE`
Mà $K;C;E$ thẳng hàng
`=>C` là trung điểm $KE$ (đpcm)
$\\$
`c)` Vì $C$ là điểm chính giữa cung $AB$ (gt)
`=>sđ\stackrel\frown{AC}=1/2 sđ\stackrel\frown{AB}=1/ 2 .180°=90°`
`\qquad \hat{CBA}= \hat{AEC}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{AC}=1/2. 90°=45°` (góc nội tiếp chắn cung $AC$)
`=>\hat{HEK}=45°`
Xét $∆EHK$ vuông tại $H$ có `\hat{HEK}=45°`
`=>∆EHK` vuông cân tại $H$ (đpcm)
$\\$
Vì $C$ là trung điểm $KE$ (câu b)
`=>HC` là trung tuyến $∆EHK$ vuông cân tại $H$
`=>HC` đồng thời là phân giác `\hat{KHE}`
`=>\hat{CHK}=\hat{KHE}/2={90°}/2=45°`
$\\$
Tứ giác $MCNH$ nội tiếp (câu a)
`=>\hat{CNM}=\hat{CHM}=45°` (cùng chắn cung $CM$)
Vì `\hat{CBA}=45°` (c/m trên)
`=>\hat{CNM}=\hat{CBA}`
Mà hai góc `\hat{CNM};\hat{CBA}` ở vị trí đồng vị
`=>MN`//$AB$ (đpcm)
